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今年の1題 その4

中学入試の算数問題2012年02月05日19時45分
大雪!


先週は予告も無くお休みをしてしまいました。
雪のせいなんです…。

というのはウソです。

本当の理由は一時的にネット環境になかったんです。

この写真は名古屋駅付近です。

東京に引っ越しをする途中の一葉です。

というわけで、今日の「今年の1題」は…、

【開成中の2012年度 4番】
2以上150以下の整数に対して、<n>はnの約数の中で2番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、6の約数は1,2,3,6なので<6>=3であり、7の約数は<7>=1です。

(1) 2以上150以下の全ての偶数nに対する<n>の和、すなわち、<2>+<4>+<6>+…+<150>を求めなさい。

(2) 2以上150以下の全ての3の倍数nに対する<n>の和、すなわち、<3>+<6>+<9>+…+<150>を求めなさい。

(3) A/5=<A>、B/7=<B>、C/11=<C>となるような2以上150以下の整数A、B、Cはそれぞれ何個ありますか。

(4) 2以上150以下の整数nに対する<n>の和、すなわち、<2>+<3>+<4>+…+<150>を求めなさい。なお、2以上150以下の整数nのうち、<n>=1であるものは35個です。

とても開成中らしい、「美しい問題」だと思います。

といっても、受験生には楽しむ時間があまりなかったかもしれませんね。

時間をかけずに解くことができるのは、類題演習をしたことがあるかもしれないはずの大問2番くらいで、
後は作業時間のかかる問題だったと感じました。

開成中は大問3~4題というのが例年の構成です。

そのうち、2題(1番と3番)が作業問題、
この4番が整数の規則性の問題ですから、
結構時間的には苦しかったのではないかなと思います。

1番は計算力だけの問題とも言えますが、何を計算すればよいかをつかむ必要があります。

また、3番は「3種のつるかめ算」のように感じるのですが、
与えられた条件が練習してきた問題とは異なるため、
問題の条件=ヒントが何なのかを理解するのが大変ですし、
その後の計算も規則性があるとはいえ、結構面倒です。

そのあとの4番ですから、楽しむ余裕があったお子さんは合格点をこえる力があるお子さんだったでしょう。

(1)は、この問題のルールをつかませるための小問です。

(2)は、(3)の伏線です。

(3)は、問題条件の「A/5=<A>」を、「わり算はかけ算に直して考える」の原則に従うと、(2)が伏線になっていることに気づけるでしょう。

もっとも、答えが小さい値になるので、「書き出して調べたら、解けた!」という受験生もいたかも…?

書き出しも大切な受験テクニックです!

(3)まですすめられたお子さんは、
(4)の「<n>=1」という「素数」の個数がなぜ与えられたかもわかったことでしょうから、
その意味でこの大問4番は、「点差がつく問題」とも言えそうですね。

全体的に、「昨年度よりは難しかった」という感じを持った、開成中の問題でした。


【解答】
(1)<2>=1、<4>=2、<6>=3、<8>=4、…、<150>=75 ですから、
(1+75)×75÷2=2850 が答えです。

(2)<3>=1、<6>=3、<9>=3、<12>=6、<15>=5、<18>=9、…、<147>=49、<150>=75 ですから、(1)とのダブりが目につきます。
これらを2列に分けて、
ア→<3>=1、<9>=3、<15>=5、…、<147>=49
イ→<6>=3、<12>=6、<18>=9、…、<150>=75
とすると、
アの和は、奇数の和ですから、25×25=625
イの和は、(3+75)×25÷2=975 となるので、答えは625+975=1600 です。

(3)「A/5=<A>」を、「わり算はかけ算に直して考える」の原則に従うと、5×<A>=A となり、Aの約数が「1、5、…、<A>、A」とならぶことから、Aは5の倍数のうち、2の倍数でも3の倍数でもない整数とわかります。
ですから、5×□の□にあてはまる整数は、1、5、7、11、13、17、19、23、25、29の10個となるので、Aの個数は10個です。
同様に、Bは7×□の□にあてはまる整数が、1、7、11、13、17、19の6個となるので、Bの個数は6個、Cは11×□の□にあてはまる整数が、1、11、13の3個となるので、Cの個数は3個です。

(4)120以下の整数を「素数×2以上」であらわすとき、あてはまる素数は(1)~(3)で求めた2、3、5、7、11だけなので、
A/2=<A>の和は、(1)より、2850
B/3=<B>の和は、(2)より、625
C/5=<C>の和は、(3)より、150
D/7=<D>の和は、(3)より、68
E/2=<E>の和は、(3)より、25
<n>=1つまり素数(ただし、2、3、5、7、11は既に計算済みなので除きます)は35-5=30 なので、
2850+625+150+68+25+30=3748 と求められます。
中学入試の算数問題2012年02月05日19時45分

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主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。