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今年の1題 その7

中学入試の算数問題2012年03月19日16時54分
Ume!


お元気ですか?

今日から3日間はお彼岸。気分はすっかり春です!

梅の花も「満開」です。

梅のことは英語でも「ume」とも表すようです。
古来に中国から伝わり、野生化したものが日本の梅の始まりだと言われています。
植物分類によるとウメはバラ科、サクラ亜科、スモモ亜属で、梅・李・杏は仲間で、
そのためか英語では「Japanese apricot」と呼ばれています。

梅といえば、千葉県勝浦市には、「花野辺の里」という
梅、菜の花など季節の花々を見ることができる里山施設があります。

そこで、今日は日能研が車内広告に取り上げている
千葉県の市川中学の2012年度入試問題ををご紹介します。

【問題】
A、B、C、D、Eの5人が全長12kmのマラソン大会に出場しました。5人はちょうど12時にスタートし、次のような結果になりました。
このとき、あとの問いに答えなさい。
①A、B、C、Dの4人は、それぞれスタートしてからゴールするまで一定の速さで走った。
②Cは12時55分にゴールした。
③Aが走った時間とBが走った時間をたすとCが走った時間の2倍に等しかった。
④DはBよりも分速20m速かった。
⑤AはBよりも速く走った。
⑥Eはスタートしてから12時20分まで分速(ア)mの一定の速さで走り、12時20分から12時40分までは分速(ア-10)mの一定の速さで走り、12時40分以降は、再び分速(ア)mの一定の速さで走り、ゴールした。
⑦スタートしてからゴールするまでに、EはAよりも1.2倍の時間がかかった。
⑧最後にゴールした人は1人ではなかった。
(問1)最後にゴールした人をすべて答えなさい。
(問2)(ア)にあてはまる数を求めなさい。
(問3)EがBに追い抜かれたのは、何時何分でしたか。

この問題は「SS-1式フレーム思考」のように、
「問題条件が箇条書き」されているので、
「条件から何がわかるか」が考えやすく作られた問題ですし、
小問も誘導形式になっていますので、
「速さと比」を習い終えているお子さんならば十分にチャレンジできますよ!

ただし、この問題には一ヶ所注意しなければいけない点があります。

それは「箇条書き部分以外の問題条件」を見落とさないようにすることです。
つまり本文中の条件(仮に条件⑨としておきましょう)、
登場人物が5人、12km、12時スタートも拾い出しておくということです。

さて、この本文の条件も含めるとぜんぶで9つの条件があります。

いったい、どの条件から見ていけば良いのでしょうか?


問題を解く上での大切なルール、「割合は比に直す」を思い出しましょう!

ですから、まず着目するのは条件③と⑦です。

条件③からは、(Aの走った時間+Bの走った時間):Cの走った時間=2:1
条件⑦からは、Aの走った時間:Eの走った時間=5:6
がわかります。

この問題は、この条件③を
条件②、⑤とあわせて次のように表しなおすことができれば、正解することが可能です。


(問1)は、「着順」を考える問題ですから、この図にあとD、Eを加えることを考えますね?

すると、条件④を使うことに気づけます。

ここから、A、B、C、Dの4人については、Bが最下位だということになります。

条件⑧で最下位は一人ではないとなっていますので,
残されたEも自動的に最下位ということになります。

これで、(問1)の答えが、B、Eとわかりましたね。

すると、線分図を次のように書き加えていくことが可能になります。


55分が5.5にあたりますので、
Aは50分、BとEは60分で12kmを走ったことがわかります。

つまり、12000m÷60分=200m/分…B です。

EもBと同じ60分で12000mを走ったということは…。

ここで「Eの平均の速さが200m/分だ!」とでてくれば、「優秀!」です。

「平均」とくれば「天秤法」が最速っぽいですね。


天秤の図から、うでの長さの比が2:1なので、ア=200+10×1/3=203 1/3(m/分)
が求められ、(問2)の答えもわかりました。

(問3)は(問2)が正解できなくても解答は可能ですが、
Eをダイヤグラムにあらわしたとき「対称図形」になることに気づくことが必要です。


このグラフにBを書き加えると次のようになります。


ですから、EがBに追い抜かれたのは、12時30分とわかり、
(問3)の答えも求められました。

これからの問題演習において、
「割合は比に直す」や
「平均とくれば天秤法(面積図でもOK!)」、
「時間の条件が多い速さの問題はダイヤグラム」といった、
「方針のたて方」を個々の単元において覚え、使うようにしていくと、
このような難しい問題でも迷わずに解くことが可能になります。

中学入試の算数問題2012年03月19日16時54分

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主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。