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入試問題編 再開! ~同じ問題かも?(前編)~

数の性質の練習問題2012年06月02日15時17分
羊歯!


お元気ですか?

シダです。

「歯朶」とも書きますす。

いわゆるシダ植物、種類がものすごく多い植物です。

木々の小径で自生しているもの以外に、
観葉植物や園芸植物として育てられていたり、
水槽の中に入れる水草の中にもシダの仲間がいたりと、
案外身近な植物なんです。

この写真のシダは、おそらく「ヤブソテツ」の仲間だと思います。
通りががった石垣に生えていました。

6月に入り、やがて梅雨を迎えるこの季節。
シダ植物のように胞子で増える植物にとっては繁殖の時期です。

歯の裏側にはびっしりと胞子嚢がついているでしょ?

上から見るとただの緑色の葉っぱですが、
裏側にはこんなものが隠されているんです。

ということで、今日のテーマは「裏側に隠されたもの」です。

受験の天王山と言われる「夏休み」まで、あと8週間となりました。
そこで、今回からは問題を入試問題やその類題を中心に選んでいきます。

5年生には少し難しいかもしれませんが、見たことがある問題も出てきますから、
ぜひチャレンジしてみてくださいね。


【入試問題の類題】…5年生でもチャレンジできます!

1から20までの整数について、次のような規則で操作していきます。

(操作)
整数をひとつ選んで2倍する。もし、2倍した結果が20をこえたら、さらに21を引いたものを結果とする。

たとえば、6を選んで操作を1回すると12となり、13を選んで操作を1回すると5となります。
このことを、(6,1)=12、(13,1)=5 のように表すことにします。
また、6を選んで操作を2回すると、6→12→3となるので、このことを(6,2)=3 と表すことにします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) (8,5)を求めなさい。
(2) (2,2012)を求めなさい。
(3) (A,3)=A となるAをすべて求めなさい。


「規則性」の問題ですね!

規則性の問題のポイントは、
① 規則の説明を読んで理解する。
② 「たとえば~」は、大ヒント部分なので、じっくりと読む。
③ 問題を解くときは整理しながら書く。
の3点です。


特に、ポイント②は重要ですよ!
「ウッカリくん」、「オッチョコチョイさん」は、ここの見落しが多いんです。

(1)から見ていきましょう。
8×2=16 なので、8→16 です。
続いて、
16×2=32 32-21=11 なので、8→16→11 となりました。
さらに、
11×2=22 22-21=1 なので、8→16→11→1 です。
4回目の操作をすると、
1×2=2 なので、8→16→11→1→2 です。
最後に5回目の操作をして、
2×2=4 なので、8→16→11→1→2→4 ですから、
(8,5)=4 と求められました。

テストなどで解答を作成をするときは、

1回目 8×2=16
2回目 16×2=32 32-21=11
3回目 11×2=22 22-21=1
4回目 1×2=2
5回目 2×2=4 → (8,5)=4

のように、「言葉を省略」してもOKです。
その代わり、「●回目」をつけておきましょう。

表にしてもいいですよ。


表にする場合も、「回数」や「整数(「結果」としてもOK)」といった、
「表の項目」を書くと、「ミス防止」の効果がある上に、
問題の理解度もアップしますよ!


規則性の問題の多くは「誘導形式」です。

「たとえば~」でヒントを与え、
さらに(1)でどんな操作をするのかを確認させるように作られています。
そして、(2)で「ここまでで気づいたことを利用」させるという形式です。

この問題の(2)でも、「2012回の操作」という条件から、
「2012回も操作をするはずがない。必ず規則性があるはずだ!」と
気づかせてくれているのです。

親切ですよね、問題作成者って?!

さあ、(2)です。

「規則性を発見するまでは書き出す」が鉄則です。

ここでは表を利用してみましょう。


6回の操作をすると、もとの「2」に戻りましたね。
つまり、「6回1周期」ということです。

2012回÷6回=335周期あまり2回 ですから、
操作を2回したときと同じ、8 が答えです。

この(2)から、「何回か操作をすれば、元の整数に戻るんだ!」と気付けますね。

そうなんです、「ループ」と呼ばれる問題です。


つまり、

(1,2,4,8,11,16)、(5,10,13,17,19,20)は6回1周期、
(3,6,12)、(9,15,18)は3回1周期、
(7,14)は2回周期、
そして、21はいつでも21なんですね。

このことを利用すると(3)は簡単です。
(A,3)=A は、「3回で元に戻る整数=3回1周期」という意味ですから、
A=3,6,9,12,15,18 とわかります。

この問題自体、入試問題といっても不思議ではないのですが、
なかなかこうあからさまに「ループのある規則性の問題だよ」といった
入試問題は、難関中では登場しません。

もう少し、姿を変えて登場するんです。

でも、今回は長くなったのでここまでです。
この続きは次回、お楽しみに!


数の性質の練習問題2012年06月02日15時17分

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主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。