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入試問題編 ~つるかめ算~

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中学入試の算数問題2012年07月07日16時09分
苺!


お元気ですか?

キイチゴです。

道ばたにはえているキイチゴの実をつまみながら
下校した小学校時代をふと思い出してしまいました。

まだ、交通量も少なくて小学生が道いっぱい(といっても車1台分くらいの未舗装路ですが)に
広がって歩いていても安全なころでした。

キイチゴを食べると、中に先客のアリがいてビックリということもありました。

写真のキイチゴはおそらく「ヘビイチゴ」です。
花が咲いているときや、写真を撮ったときの観察が不十分だったので…、失敗の巻き。

ヘビでさえ食べないというくらいおいしくないものです。
同じキイチゴでもこんなにも味が違うものなのですね。

というわけで、今回のテーマは「ちょっとした違いに注意」です。


1997年の筑波大学附属駒場中の入試問題からです。


【問題】
A、B、Cの3人が次のようなルールでじゃんけんをします。
・1人が勝って2人が負けたとき、勝った人は3点、負けた人は0点とする。
・2人が勝って1人が負けたとき、勝った人は2点ずつ、負けた人は0点とする。
・あいこのときは、全員が1点ずつとする。
8回のじゃんけんをしたとき、Aは15点、3人の合計点は26点でした。

(1)2人が勝って1人が負けたときの回数は何回ですか。

(2)あいこの回数は何回ですか。すべて求めなさい。

(問題文一部改)


6年生にはおなじみの題材ですね。

このタイプの問題を解くには、
「1回分の総得点」や「1回分の得点差(2人の問題のとき)」を事前に整理しておくとすっきりします。


このように整理をすると、結局、「3点と4点の2つのパターン」しかないことがわかりますね。

ということは(1)が簡単な「つるかめ算」だと気づけます。

もし8回とも3点のパターンだったら、3点×8回=24点 ですから、2点不足します。
ですから、2点÷(4点-3点)=2回 → 4点のパターンが2回 です。


(2)はどうすればよいのでしょうか?

「勝った回数が8回で15点」ではなく、
「勝った回数が8回以下で15点」であるところに注意しましょう。

「勝った回数が8回で15点」ならば、
3点×ア+2点×イ+1点×ウ=15点 で
ア+イ+ウ=8回 という「不定方程式タイプ」のつるかめ算になります。

しかし、この問題は「8回以下」という条件です。

じつは、(1)がうまい誘導になっているのです。(さっすが、筑駒!)

つまり、イについては、イ=0、1、2 の3通りしかないんです。

ということは、
イ=0回のときは、3点×ア+1点×ウ=15点 で ア+ウ=8回以下 です。

つまり、


です。

ここで注意が必要なことは、(1)からアとウのパターンの合計は6回だったことです。
つまり、「Aがアとウのパターンだった回数は6回以下」ということなんです。(本当によくできてた問題!)

ですから、イ=0回のときは、ア=5回 ウ=0回 だけしかないんです。


同じようにして、

イ=1回のときは、3点×ア+1点×ウ=13点 で ア+ウ=6回以下 です。

つまり、


イ=2回のときは、3点×ア+1点×ウ=11点 で ア+ウ=6回以下 です。

つまり、


とわかります。

ですから、あいこの回数は、0回、1回、2回 が答えとなります。


このように、ほんのわずかの条件の違いが、答えの差を生み出します。
この違いを見出す余裕を持つためにも、整理は重要です。

整理をすることで、問題に100%の力が注げる状態を作るということなんです。

さあ、もうすぐ夏期講習です。

夏期講習が始まるまでの期間だけでもこのような練習を行い、
夏期講習は知識や解法の課題だけに集中できる準備をしておきましょうね。


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中学入試の算数問題2012年07月07日16時09分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
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