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受験の天王山、夏スタート編 ~数の性質~

数の性質の練習問題2012年07月28日00時44分
昼顔!


お元気ですか?

ヒルガオです。

ヒルガオはその名の通り、ヒルガオ科を代表する植物です。

このなかまには他に
東南アジアからヒマラヤ高原あたりが原産とされているアサガオ、
中央アメリカ原産のサツマイモなどがあります。

アサガオは奈良時代に中国からの薬として輸入されましたが、
江戸時代以降は観賞用として多くの品種が国内で作られ、夏を代表する植物となりました。

夏休みの観察日記などでもおなじみですね。

一方でヒルガオはというと種子をつくらないせいなのか、
地下茎を切っても、切られた茎から芽が出るため、繁殖力が非常に強く、
農家からは厄介な雑草としてみられています。

同じヒルガオ科に属しても、こんなにとらえられ方が違うんですね。

俳句の世界でもヒルガオは夏の季語ですが、アサガオは秋の季語なんですよ。

まぎらわしいったらありゃしない。
驚く


昼顔に草鞋を直す別れ哉    子規


というわけで、今回のテーマは「まぎらわしい問題もすっきりとさせよう! ~数の性質~」です。

この時期、受験生の多くのお子さんが夏期講習を受けていると思いますが、
ここまでの復習から夏期講習が始まる塾の場合、トップを飾る単元といえば、
それは「数の性質」ではないでしょうか?

今日の問題は、早ければ4年生でも習う基本的な解き方がありますので、
5年生でもきっと大丈夫ですよ。
上位校を目指す6年生は、ちょっとした「裏技」がありますから、発見してみてくださいね。

ヒントは「誘導」です。


【問題】
次の問いに答えなさい。
(1)9でわると4あまる、2けたの整数は何個ありますか。
(2)4けたの整数□1□4が9でわりきれるとき、このような4けたの整数は何個ありますか。
(3)5けたの整数□□7□6が3でわりきれるとき、このような5けたの整数は何個ありますか。


今回は問題文が短いので、大がかりな整理をせずとも解くことができそうです。

(1) 2けたの整数を□とすれば、□÷9=◎あまり4 です。
もちろん、このままでもOKですが、基本は「わり算はかけ算に直す」ですから、
□=9×◎+4 と整理しておきましょう。
□=10~99 ですから、◎=1~10 ですね。 つまり10個が答えです。


このような計算をするときは、
99-4=95 95÷9=10あまり5 9×10+4=94 なので、OK
という判断が基本です。


でも少し時間を短縮したいのであれば、「○に近い9の倍数」という考え方がおすすめです。

10に近い9の倍数は9だから4を足すと2けたになる、
99に近い9の倍数は99だけれど、4をたしても99以下にするには90までが限界だ。
だから、9×1~9×10の10個だ といった考え方です。

正確な計算力があるお子さんは、こんな解き方も試してみてくださいね。


さて、(2)は(1)と異なり、「9の倍数」をつくる問題です。


「9の倍数判定法」は、「各位の数の和が9の倍数になる」でしたね?

「3、4、6、9と11の倍数判定法」は、上位校受験者には必須です。


念のために、ここで復習しておきましょう。

・3の倍数判定法…各位の数の和が3の倍数になる
・4の倍数判定法…下2けたが4の倍数または00になる
・6の倍数判定法…各位の数の和が3の倍数で、かつ整数自身が偶数である
・9の倍数判定法…各位の数の和が9の倍数になる
・11の倍数判定法…「1けたおきの各位の数の和」の差が11の倍数または0になる


この問題では4けたの整数□1□4を「ア1イ4」としたとき、
ア+1+イ+4=9または18 になればよいので、
(ア、イ)=(1、3)~(4、0)、(4、9)~(9、4)の10通りがあります。
ですから、答えは10個です。


ところで、(1)と(2)の答えを見て、何かピンときたお子さんもいるのでは?


わからないなぁというお子さんは、「ア+イ」がどんな数になっているかに注目してみましょう。


ア+1+イ+4=9の倍数 ですから、
ア+イ=「9の倍数-5」、なんと「9の倍数+4」 になっていますね。


ということは、
「1」と「4」をのけてできる、2けたの整数アイの各位の和が9の倍数+4になるということです。

つまり、「2けたの整数アイは9でわると4あまる数」ということです。

これって、(1)とまったく同じ問題ですよね?


この誘導に気づけば、(3)はとても簡単に求められます。

(3)を基本どおりに解けば、
5けたの整数について、□+□+7+□+6=3の倍数 を、場合分けして求めなければいけないのですが、
今の「裏技」を利用すると、次のようになります。

7+6=13 なので、3でわると1あまります。

ということは残りの □+□+□ は、3でわると2あまる数のはずです。

つまり、3けたの整数□□□は3でわると2あまる整数です。

あとは、3×◎+2=100~999 → ◎=33~332 の300通り ですね。

つまり、答えは300個とわかります。


あっという間でしたね!

入試問題には、「書き出し」や「作図」以外にどうしようもない問題も結構あるので、
そこでどうしても時間を消費してしまいます。

ですから限られた試験時間の中で、合格点分の正解を獲得するためには、
このような工夫を多く知っているほうが得だといえそうです。

夏期講習は、自分の知っている解き方よりもすぐれた解き方を学ぶ機会でもあります。
時間の許す範囲内で、問題の解説をよく読み、入試に向けた技術を蓄えていってくださいね。

数の性質の練習問題2012年07月28日00時44分

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主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。