中学受験情報局『かしこい塾の使い方』 -> 主任相談員の中学受験ブログ -> 前田昌宏の中学受験が楽しくなる算数塾 -> 図形の練習問題 ->「天」と言えば「河」 ~合言葉で解く平面図形 その2~ 

「天」と言えば「河」 ~合言葉で解く平面図形 その2~ 

図形の練習問題2012年09月08日15時40分
白粉花!


お元気ですか?

オシロイバナです。

「夕化粧」の別名があり、
英語でも「Four o'clock」の名があるとおり、
夕方に開花し、翌朝しぼむ一日花です。

写真は朝8時ころの撮影なので、すでにしぼみかかっています。

オシロイバナは江戸時代には日本に入ってきていたようで、
種子をつぶすとでてくる白い粉が、
当時使われていた「白粉(おしろい)」という化粧品に似ていたところからついた名前のようです。

当時の白粉には「鉛白」といって発色をよくするために鉛の化合物がふくまれていて、
病気の原因ともなっていたのですが、いまは鉛白の使用が禁止されています。


現代では、白粉といえば京都の舞子さんでしょうか…。


というわけで今回のテーマも「天といえば、河! ~合言葉で解く算数~」です。


「合言葉って、『山といえば川』じゃないの?」


そう思っていたのですが、
由来を調べてみると元は「仮名手本忠臣蔵」で
討ち入りに参加できない「天河屋」のことを思い、
味方の合言葉を「天」、「河」としたのが、
いつしか「山」、「川」にかわってしまったようです。


それはさておき、平面図形には多くの合言葉があります。


『円問題の補助線とくれば、中心と結ぶ。』(半径をかく)
『差とくれば、つけたし』
『直角三角形とくれば、角に○、×、90°』
『斜線部分とくれば、まわりから引く』
『120°六角形とくれば、延長して正三角形を作る』
『45°があれば、直角二等辺三角形を探す、作る』(45°問題)
『30°直角三角形があれば、斜辺:最も短い辺=2:1』(30°問題)
『正多角形とくれば、均等分割』
『四角形があれば、三角形に分割』
…など



これらの合言葉はなぜか、参考書にもほとんど書かれていません。


進学塾の授業中に、先生が教えているだけではないかと思います。

ですから、平面図形の単元を学習するときは
このような「合言葉」もノートに書きとれるといいですね。


【問題】

正六角形ABCDEFで、辺ABの真ん中の点をP、辺CDを1:2に分ける点をQとします。このとき、三角形PQDの面積と正六角形ABCDEFの面積の比を、最も簡単な整数の比で求めなさい。

この問題には2つの解き方があることが、本文中の条件からわかります。

「正六角形」という条件に着目すると
『正多角形とくれば、均等分割』、

「120°(正六角形の1つの内角)」という条件に着目すると
『120°六角形とくれば、延長して正三角形を作る』

の2つです。


まず、『正多角形とくれば、均等分割』の合言葉を用い、解いてみましょう。

正六角形は、図のように6つに正三角形に均等分割できます。
さらに右の図のように24等分することもできます。


すると、正三角形と問題の三角形PQDについて、
底辺の比 → 3:2
高さの比 → 2:3 とわかりますので、
面積の比 → 3×2÷2:2×3÷2=1:1 となります。


正六角形は正三角形6個分ですから、答えは 1:6 です。


正多角形の均等分割が使えると、とても楽に問題を解くことができますね!


では、『120°六角形とくれば、延長して正三角形を作る』ではどうでしょう。


図のように正六角形の辺を延長して正三角形を作ります。
このとき、青い線の図形に着目します。


正六角形の1辺の長さを⑥とします。

正三角形BRC、三角形PRQ、三角形PRQは角Rが共通ですから「隣辺比」が利用できるので、
正三角形BRCの面積:三角形PRQの面積:三角形PRDの面積=⑥×⑥:⑨×⑧:⑨×⑫=1:2:3 です。



ですから、
三角形PQDの面積は、三角形PRD-三角形PRQ=3-2=1 となり、
正三角形BRCと同じ面積になります。

正六角形ABCDEFの面積は正三角形BRCの面積の6倍ですから、やはり答えは 1:6 です。


このように合言葉が使えるようになると
定番の問題はもちろん、
ちょっとした応用問題でも解くことができます。


図形が苦手なんだけど…というお子さんがいましたら、
一度「合言葉で解く平面図形」を試してみませんか?


図形の練習問題2012年09月08日15時40分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
Copyright (c) 2008- 中学受験情報局『かしこい塾の使い方』 All rights reserved.