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復元 ~平面図形 その3~

図形の練習問題2012年09月15日18時00分
丸葉縷紅!


お元気ですか?

マルバルコウです。

漢字で書かれてみると「丸葉+縷紅」、つまり葉の形が丸い縷紅草だとわかります。

「縷紅草」の「縷」は「糸のように細長いもの」という意味で、
縷紅草の葉は細く裂けて、まるで骨のようにみえます。

縷紅草も、丸葉縷紅も江戸時代に渡来した熱帯アメリカ原産のツル性植物です。
縷紅草はお庭のグラウンドカバーやアーチ状に飾る等、いろいろ利用されているのですが、
この写真の丸葉縷紅は雑草として繁殖してしまっています。

大豆畑などにこれが入りこむとまん延するため、
独立行政法人 農業・食品産業技術研究機構からは、警戒すべき帰化雑草とされています。

畑をもとの状態に「復元」するのが大変なんです。


というわけで今回のテーマは「復元 ~平面図形 その3~」です。

「復元」という技術は、今回取り扱う平面図形の求積問題以外に、
角の大きさを求める問題や立体図形の切断問題などでも使用します。

角の大きさを求める問題の場合、着目の優先順位は
1.三角形の内角
2.三角形の外角
3.二等辺三角形
4.合同な三角形
5.図形を復元する
の順になっています。


つまり、1~4のどれに着目しても解けないときに「復元」という技術が出てきます。

以前、サンテレビ(兵庫県)の「昼カフェ」という番組へ出させていただいたときにご紹介した、
関西学院中の問題もこの復元の一種です。

興味がある方は、SS-1のホームページにある「メディア掲載実績と講師の著書」や
YouTube「中学受験SS-1 前田講師の算数1」で見ていただくことができます。 


今回は、この復元を平面図形の求積問題でご紹介します。

次の問題は、2012年度の早稲田中学[5]の一部です。

本問では(1)が誘導になっているので比較的正解しやすい問題となっていましたが、
ここでは誘導なしで解くとどうなるかにチャレンジしてみて下さい。


【問題】
図で、正方形ABCDの頂点は円周上にあり、三角形AEBは直角三角形です。また、BFの長さは12cm、EFの長さは9cmです。
① AFの長さは何cmですか。
② 円の面積は何?ですか。ただし、円周率は3.14とします。


まず、①です。

これは相似を習っている5年生ならば正解できそうな問題ですね。

これまでにも出てきましたが、問題文に「直角三角形」とありますから…

そうですね!「直角三角形とくれば、角に〇、×、90°を書く」です。


すると、相似な三角形が見つかりますね。

三角形AFBと三角形BFEは相似です。


ですから、AFは 12cm×4/3=16cm です。



②は「円の面積」を求める問題です。

円の問題ですから…

そうですね!「円問題の補助線は、中心と結ぶ(半径をひく)」です。


「円の面積=半径×半径×3.14」ですから、半径の長さがわかれば簡単に解けます。

しかし、いくら考えてもこの問題では半径は求められませんね。


そんなときはどうすればよいのでしょうか?


「半径」そのものが求められなくても、「半径×半径」の値がわかればそれに3.14をかければいいんです。

そのとき、「半径×半径」を「半径を1辺とする正方形の面積」におきかえるのが重要なポイントです!


ここで、2つの方法に分かれます。

ひとつは「三平方の定理 ~3:4:5の直角三角形~」を利用することです。

すると次の図のように、AB=20cmとわかります。


ですから「半径を1辺とする正方形の面積」=20×20÷2=200 となり、
200×3.14=628? と答えを求めることができます。

実は、早稲田中の入試問題ではこの3:4:5が(1)の誘導からわかるようにできていました。

というのは「三平方の定理」が中学入試の範囲外であることから、
それを「誘導小問を設定」することで
「三平方の定理を知らなくても解くことができる」ようにしてあるのです。


しかし、この問題、はじめにも述べたように
「復元」を利用すると「三平方の定理」を使わずに解くことができます。


そのため、「誘導抜き」で出題される可能性もあるんです。


「円問題の補助線」をひき終わった図をもう一度見てみましょう。


図の中に四角形AFBOという特徴のある図形がありますね。


どんな特徴かというと、「向かい合う角Fと角Oがどちらも90°」の四角形なんです。

この図形は正方形を4分割したときにできる図形のひとつです。


ですから、12cm+16cm=28cm がもとの正方形の1辺です。

あとは 28cm×28cm÷4-12cm×16cm÷2=100? が三角形ABOの面積ですから、


「半径を1辺とする正方形の面積」=100×2=200 となり、
200×3.14=628? と答えを求めることができます。


図形の「復元」を使用する問題の図は、
正多角形や二等辺三角形、あるいは立方体のように
「美しい図形」の一部分を削り取ってつくられているんです。

ですから、「復元」するときはそのような「美しい図形」をイメージすると、
どんな図形がもとだったのか、きっと発見しやすくなりますよ。


図形の練習問題2012年09月15日18時00分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
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