中学受験情報局『かしこい塾の使い方』 -> 主任相談員の中学受験ブログ -> 前田昌宏の中学受験が楽しくなる算数塾 -> 中学入試の算数問題 ->平成25年度 中学入試 スタート ~平成26年度に向けて ②~

平成25年度 中学入試 スタート ~平成26年度に向けて ②~

中学入試の算数問題2013年02月02日18時00分
m_20130202.jpg 1
女子学院中学です。

昨日から東京、神奈川エリアの中学入試がはじまりました。
桜蔭中、海城中、駒場東邦中など、今日が合格発表の学校もたくさんあります。
これまでの努力が報われるといいですね!


さて今回も2013年度の灘中入試問題をとおして、
5年生のうちに身につけておきたいことをみていきましょう。


3…数の規則性
8桁の整数12345678に下のような操作を100回続けて行なってできる整数は□です。
操作 左から1,2,3,4,5,6,7,8番目の数字をそれぞれ左から2,4,6,8,1,3,5,7番目に移す。つまり、ABCDEFGHをEAFBGCHDにする。



問題文中に「100回」とありますから、「周期的な規則性の問題」だと予想できますね。
ということは「周期が見つかるまで書き出す」という方針も決まります。

はじめ 12345678
1回後 51627384
2回後 75318642
3回後 87654321
4回後 48372615
5回後 24681357
6回後 12345678

6回で元にもどることがわかりましたから、100回÷6回=16周期あまり4回
→4回後と同じならび方になります。 48372615

これは「ループ」とよばれている問題です。

「○番目に移す」に着目すると、
1番目の数字→2番目の位置へ
2番目の数字→4番目の位置へ
4番目の数字→8番目の位置へ
8番目の数字→7番目の位置へ
7番目の数字→5番目の位置へ
5番目の数字→1番目の位置へ
というひとつの「6回で循環するグループ」がみつかります。

さらに
3番目の数字→6番目の位置へ
6番目の数字→3番目の位置へ
という「2回で循環するグループ」も見つかります。

すると100回÷6回=16周期あまり4回 から、
1→7番目の位置へ
2→5番目の位置へ
4→1番目の位置へ
8→2番目の位置へ
7→4番目の位置へ
5→8番目の位置へ
に移ることがわかります。

3と6は、100回÷2回=50周期 なので、元の位置のままです。

このような考え方のことを「ループ」といいます。

でも、この問題では「周期が見つかるまで書き出す」という
基本に忠実な解き方がわかりやすいですよね。

ところで「書き出す」とき、上のように「たて一列にならべていく」と
見やすくて間違いにくいと思いませんか?

見間違えないように書くという答案作成技術の大切さがわかる一問だと思います。
ノートに走り書きをする悪いクセがついているお子さんは、早めに修正しておきましょう。



4…数の性質
分母、分子がともに整数で、これ以上約分できない分数のうち、0.5より大きく0.51より小さいものをすべて考えます。ただし、ちょうど0.5または0.51になる分数は除きます。この中で、分母が100以下の分数は□個あります。



「分数の範囲」についての問題です。

この問題の基本形は
1/3より大きく、1/2より小さい分数のうち、分子が3である分数をすべて求めなさい。
といった問題などです。

この基本問題の場合ですと、「分子を3にそろえて考える」ように学びます。
通分の応用といえますね。

3/9<3/□<3/6 なので、□=7,8です。つまり、3/7と3/8が答になります。

ですから、この4も同じように整理することができそうです。

1/2<★/□<51/100

この問題の難しいところは基本問題とちがって、
分子も分母もハッキリいくらと示されていないところにあります。

つまり、「自分で分子を指定しなさい」ということなんですね。

そこでまず、分子=1の場合を考えます。
1/2<1/□<1/1.96…
すると、□にあてはまる整数がありません。

分子=2の場合を考えても、
2/4<1/□<2/3.91…
となり、やはり□にあてはまる整数がありません。

ここで
「無理なんとちゃうん?」
とあきらめないください。

「2と1.96…の間」や「4と3.91…の間」に整数がないのはなぜでしょうか?

そうですね、分母の差が1より小さいからです。

ということは、どんな分子のときに初めて差が1以上になるかを考えればよいわけです。

1.96…や3.91…と「小数」で表すと気づきにくいのですが、これを分数に変えてみると
2と100/51の差は2/51、4と200/51の差は4/51、6と300/51の差は6/51…のように、
分子を2倍、3倍…すると、差も2/51の2倍、3倍…となっていきます。

1÷2/51=25.5倍 →26倍すると差が初めて1より大きくなります。
つまり、26/52<26/□<26/50.98… なので、26/51が見つかります。

ということは、差が2より大きくなると□に当てはまる整数も2つになりますからに、
分母の差が2より大きくなるときも調べなければいけません。

2÷2/51=51倍 →51倍すると差が初めて2になります。
つまり、51/102<51/□<51/100 なので、51/101が見つかります。

おっと、分母が100をこえてしまいました!
ですから、50倍までしかできません。
つまり、50/100<50/□<50/98.03… なので、50/99が見つかります。

分子が26から50まで、今と同じような計算をすると、
ある分子1個について□にあてはまる整数が1個だけあることになりますから、
50-25=25個 がこの問題の答です。

「もし25個の中に約分ができる分数があったら…?」
という心配が頭をかすめたかもしれませんが、
答となった分数の分母は99以下ですから、
約分すれば当然100以下なので大丈夫ですね。


この問題は受験生にとって難しく見えた問題のひとつだったと思います。

「分数の範囲」問題を、機械的な作業問題としてこなしてきたお子さんは
特にそうだったのではないでしょうか?

問題演習を機械的にこなすことは、「問題を解くスピードをつける」という点で重要です。

だからこそ、「スピード演習に入る前=基本問題を学ぶとき」に、
「なぜそのような解き方になるのか?」を十分に理解しておくことが大切になります。

問題の意味を理解できていれば、この4でも焦らずにすむからです。

スピード演習は6年生になると学習の半分以上を占めてきます。

ですから、5年生の学習時に「問題の意味を理解してから問題の解法を覚える」
という手順がポイントだと思います。


<家庭学習のポイント>
1.「書き出し」の問題では、見やすくなるように書く練習をしてみよう!
2.「解法の意味」は、基本問題で理解を深めよう!

中学入試の算数問題2013年02月02日18時00分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
Copyright (c) 2008- 中学受験情報局『かしこい塾の使い方』 All rights reserved.