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『数の性質 上級レベルの学習ポイント』2

数の性質の練習問題2013年12月14日18時00分
第160回 2014年度入試間近 難関中研究 ~2~



(筑波大学附属中学校)




冬期講習会もすぐに始まろうというこの頃ですが、
その講習会で達成したい目標はもう決まっていますか?


講習会であれ、テストであれ、
「○○ができるようになろう」という目標を明確にもって臨めば、
終わったあとの振り返りも充実したものになりますね。


受験生は過去問演習もそろそろひとまわりして、
「○○だけはこの冬の間につぶしておこう!」
という気持ちになっていることでしょう。


そんな「○○」に入る単元のひとつに、
「数の性質」があると思います。


「数の性質」は、何から手をつければよいのかわからないこともあれば、
せっかく書き出したのに抜けがあって答えがひとつ足りないこともある、


お子さんにとっては最後まで厄介な単元です。


しかし、「難関中」と言われる中学校に合格するためには、
一定のレベルまで解けるようになることが必要です。


そこで今回はこのくらいの問題までは解けるようになっておきたい1問をご紹介します。


2013年度 筑波大学附属中学校の入試問題から、大問1 です。


筑波大学附属中学校の試験時間は40分 大問4題ですから、
最大10分を制限時間にしてチャレンジしてみてください。




[1] A、B、C、D、E、Fを、それぞれ、0でない1桁の数とします。これらを並べて6桁の数『ABCDEF』を作ります。 並んでいる6個の数を3つずつに区切って、3桁の数『ABC』と『DEF』を作り、これらを足すと999でした。
次の問いに答えなさい。なお、A、B、C、D、E、Fに同じ数があってもかまいません。

(1)6個の数A、B、C、D、E、Fを全部足すといくつになりますか。

(2)もとの6桁の数について、並んでいる6個の数を2つずつに区切って、2桁の数『AB』『CD』『EF』を作り、これらを全部足すと99になりました。

(ア)Aが1、Cが2のとき、もとの6桁の数を答えなさい。           

(イ)このような6桁の数『ABCDEF』は、(ア)で答えたものを含めて、全部で何個ありますか。







上級レベルの問題では、どのように整理するかが重要です。


この問題から「覆面算」をイメージできれば、
中級問題までの問題演習がきちんと身についているといえます。





と、このように整理すれば
「くり上がりを考えないと…」という考えが自然と浮かびますね。


一の位の「C+F」に着目すると、
「C+F=9」か「C+F=19」ですが、もちろん「C+F=19」は無理です。


ということは、






なので、A+B+C+D+E+F=9×3=27 とわかります。




(1)で上手くいきましたから「(2)も同じ手が使えそう…」となりますね。





(ア)は、A=1、C=2ですから、






なので、E=9-(1+2)=6 です。


また、(1)で





がわかっていましたから、
B=9-6=3、D=9-1=8、F=9-2=7 
となり…、


おや? B+D+F=3+8+7=18 となり、





とは、一致しません…。


そうですね。くり上がる場合も調べなければいけません。






つまり、
E=9-(1+2+1)=5
B=9-5=4
D=9-1=8
F=9-2=7






で、今回はうまくいきました! → (ア)142857


この(ア)が(イ)のヒントになっていますね。


十の位の和が A+C+E=9 になると、
(1)でわかった A+B+C+D+E+F=27 から
一の位の和の B+D+F=27-9=18 となり、
さきほど(ア)で失敗したパターンになってしまうことに気づきます。


ですから、
十の位の和 A+C+E=8
一の位の和 B+D+F=19
という場合を考えればいいのです。


ここで(1)を





のように書き直すと、
A+C+E=8 で A、C、E の値がわかれば、
自動的にD、B、F の値が決まることもわかります。


中級レベルで覆面算の演習をしていると、こういった点にも気づきやすいのです。


あとは A+C+E=8 となるように A、C、E の値を書き出していけばいいのですが…。


気づきましたか? あの手が使えますよ!


「8個のおはじきをAさん、Cさん、Eさんの3人で分けます。一人分のおはじきが1個以上になるような、おはじきの分け方は何通りありますか?」


はい、これも場合の数の基本問題(といっても少し難しい)で練習しました。


A+C+E=8 で A、C、E は1以上ですから、まったく同じことですね。


1人が1個ずつ先に取れば、残り5個の分け方は自由ですから、
○○○○○ | |  のパターンで、7C2=(7×6)÷(2×1)=21(通り) です。

※○<○<○<○<○<○<○ の<2カ所で区切って分けると考えてもOKです。
(<は時計回りに90°回転させてください)

→(イ)21個




「速さ」であれば、「線分図かダイヤグラム」のように整理のパターンが少ないのですが、
「数の性質」は問題文を整理する場合、式、書き出し、表、図…など、種類が多くあります。


「数の性質」では、「○○というときは××」という
問題の種類に応じた整理方法を自分で決めて、
安定した得点力を身につけていきましょう。


数の性質の練習問題2013年12月14日18時00分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
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