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『平面図形 上級レベルの学習ポイント』

図形の練習問題2013年12月28日18時00分
第162回 2014年度入試間近 難関中研究 ~4~



「東大寺学園中学校過去問集26年春受験用(実物に近いリアルな紙面のプリント形式過去問4年分) (奈良県中学校過去入試問題集)」教英出版




冬期講習会、真っ只中!
受験生は毎日の1分1秒を大切に過ごしていることでしょう。


この冬休みで何を強化するのかは受験生によって様々ですが、
必ず目標を達成しましょうね!


さて前回は冬休みに強化したい単元のひとつとして、
「平面図形」(正六角形)の1問をご紹介しました。


その際に、
「最近は正八角形や八角形も出題されます」
と書きましたので、
今回は正八角形の問題をみておきます。


受験生がよく練習する八角形の代表的な問題といえば、



でしょう。
(斜線部分の面積を求める問題です)


また、新しいところでは昨年度の灘中(1日目-9番)で



という問題が出題されました。
(正方形の各辺の三等分点を結び、斜線部分の面積を求める問題です)


いずれの問題も「初見」ではかなり難しい問題に感じたのだろうなと思います。


上の問題は高さの等しい三角形の面積比、
下の問題は相似比と隣辺比を利用して解くことができます。


そういえば、前回の正六角形問題も均等分割から相似比を求めて解きました。


正六角形や八角形も問題を解く場合、

1. 均等分割の利用
2. 比の利用

がポイントになっているのです。




(正八角形の均等分割)


愛知県の難関中、東海中学校の2008年度の入試問題では、
次のような出題がありました。


〔9〕面積が30cm2の正八角形があります。斜線部の面積を求めなさい。








前出の2題が下の図のように合同な三角形の面積を求めて解くのと同じで、



本問も、




の三角形が問題を解く鍵です。


ということは




です。


この2つの図を見比べると、




という方針が見えてきます。


正多角形の問題を解くときに、もうひとつ頭に置いておきたいことは「平行な対角線」です。


「平行 → 相似や等積変形」のように、面積を求める手がかりになっています。







これらのことから、はじめの方針が正しいことがわかりましたので、

30cm2×2/8=7.5cm2

が、答えです。




類似の解き方をする問題として、
2011年度に奈良県のトップ校、東大寺学園中学校で出題された問題があります。



〔3〕‐3
下の図のように、正八角形の2つの頂点A、Cを結んでできる直線の上に点Bをとり、
AB:BC=1:2とします。(⑧の部分の面積)+(⑨の部分の面積)+(⑩の部分の面積)=24cm2のとき、斜線部分の面積を求めなさい。(一部改題)












この問題はその前問からの誘導となっているのですが、
今回は正八角形の単問として考えてみます。


東海中学の問題と同様に、




を念頭に置いて考えてみましょう。


東海中学の問題と同じように、問題図に重ねてみると、




三角形(赤)の面積=3 とすると
高さが等しいので、
三角形11の面積=1
三角形8の面積=2
です。


また、正八角形の面積=3×8=24 ですから、
三角形9と三角形10の面積の和=12-(2+1+3)=6
です。


ですから、
三角形8と三角形9と三角形10の面積の和=8=24cm2 なので、
斜線(黒)の三角形の面積=三角形8の面積=24cm2×2/8=6cm2
が答えです。




灘中の八角形の問題のように、
相似比と隣辺比を利用する問題はやや難度が高いと思いますが、
正八角形の1/8の三角形を利用する問題は、
東海中学や東大寺学園中学のような問題演習を通して、
正六角形同様、正解できるようにしておけるといいですね。


図形の練習問題2013年12月28日18時00分

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主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。