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2015年度 中学入試に向けて 4

場合の数の練習問題2014年04月19日18時00分
第178回 「場合の数 4」





灘中(SAPIX 2015年度入試 合格率80%偏差値68)




今回は「場合の数」の苦手克服の第4回、「特殊な解き方」です。




この特殊な解き方は、第175回にご紹介した「カタラン数」のように、
「他の問題には使えないけれど、ある問題を解くときには便利」
というものです。


いいかえると、
ここまでにご紹介した「樹形図」「和と積の法則」「場合分け」とちがい、
汎用性が低い解き方ということです。





2014年 灘中 入試問題 算数2日目


大問3
2辺の長さが10cm,20cmの長方形のタイルがたくさんあります。
これらのタイルで長方形の壁をすき間がないようにしきつめます。
例えば,縦30cm,横20cmの壁の場合,タイルのしきつめ方は





のように全部で3通りあります。

(1)縦30cm,横40cmの壁の場合,タイルのしきつめ方は全部で何通りありますか。

(2)縦30cm,横60cmの壁の場合,タイルのしきつめ方は全部で何通りありますか。








問題集に掲載されている




という問題に似ていますね。


上記の例題は「規則性を利用して表で解く」という解き方です。

例えば□=50の場合を求めるのであれば、
□=30の長方形に20cm×20cmの正方形を1個つぎたす場合(→)と、
□=40cmの長方形に20cm×10cmの長方形を1個つぎたす場合(→)に
分けて求めます。


つまり





なので、□=50の場合は 3+5=8(通り) です。


「合計」だけを見れば、フィボナッチ数列になってます。




2014年度 灘中の入試問題もこれと同じように解けそうなのですが、
たてが30cmになっているため、一筋縄ではいかない問題になっています。


(1)問題にあった横20cmの3つの図





に、あと20cmつぎたす場合を考えると、3通り×3通り=9通り あります。






それ以外の場合を考えると





の2通りがありますから、全部で11通りです。



この(1)の考え方が(2)に使えないか、
考えながら(2)を解いてみましょう。


(1)の11通りに20cmをつぎたす方法は、






11通り×3通り=33通り です。


また、問題文の3つの図に40cmをつぎたす方法は、





3通り×2通り=6通り です。


ここで抜けているのが、30cmの図に30cmをつぎたす場合です。




上図の×は、
「20cmをつぎたす」場合、「40cmをつぎたす」場合と
重複していますから、2通りだけです。


よく見ると、境界が偶数cmになる並べ方は、
「20cmをつぎたす」、「40cmをつぎたす」と重なりますから、
重複しない場合は下の図のように
奇数cmのところにある並べ方だとわかります。






これらのことから、33通り+6通り+2通り=41通り が答えとわかります。


例題は規則性が見つけやすく、
灘中の入試問題は「重複」させないための工夫が必要などですが、
考え方としては「つぎたす」が共通しています。


特殊な問題に用いる特殊な解き方は問題ごとに異なりますから、
覚えるのが少し大変ですし、
覚えた解き方が使える問題が入試に出るとは限りません。


解き方を覚えること、
共通する考え方を理解することの両方が、
特殊な問題を解けるようになるために大切なことだと思います。


場合の数の練習問題2014年04月19日18時00分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
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