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2015年 中学受験対策 灘中 2

受験算数と塾の使い方2014年05月24日18時00分
第183回 「灘中 2014年 1日目」2





今回も前回に引き続き「灘中 2014年 1日目」の問題研究がテーマです。


1日目の大問1~4までは、
大問1~3は正解しておきたい問題、
大問4は残った時間で手をつけておきたい問題でした。


大問5以降はどうだったのでしょうか?


早速、見ていきたいと思います。


大問5
整数を、素数の積として表すことを考えます。例えば12は2×2×3と3個の素数の積として、また1000は2×2×2×5×5×5と6個の素数の積として表されます。1から1000までの整数で7個以上の素数の積として表される整数全部のうち、小さい方から5番目のものは①□、最も大きいものは②□です。
ただし、1とその数のほかに約数がない整数を素数といいます。1は素数に含めません。








一番小さい整数は、2×2×2×2×2×2×2=128 とわかりますから、
5番目までならばあまり時間をかけなくても調べられそうですね。

2を6回かけて、あと1つ素数をかける場合は
2×2×2×2×2×2×2=128 ...最小
2×2×2×2×2×2×3=192 ...2番目
2×2×2×2×2×2×2×2=256 ...3番目
2×2×2×2×2×2×5=320 ...5番目
2×2×2×2×2×2×7=448 ...7番目
...

2を5回かけて、あと2つ2以外の素数をかける場合は
2×2×2×2×2×3×3=288 ...4番目
2×2×2×2×2×3×5=480 ...8番目
...

2を4回かけて、あと3つ2以外の素数をかける場合は
2×2×2×2×3×3×3=432 ...6番目
...

なので、①の答えは320です。




最も大きい整数はこの逆で解けば...と考えられそうです。


まず、試しに3を7回かけてみると、

3×3×3×3×3×3×3=2187

で、1000より大きいのであてはまりません。


そこで、「×3」を「×2」に1つ変えると2/3倍なので、
まだ1000より大きいままです。


ですから、「×3」を2つ、「×2」に変えると

3×3×3×3×3×2×2=972

で、1000以下になりました。


1000=2×2×2×5×5×5=2×2×250
972 =2×2×3×3×3×3×3=2×2×243

ですから、

□=2×2×(244以上249以下で5つ以上の素数の積になる整数)

となる整数があれば、それが②の答えです。


6通りしかないので調べてみましょう。


244=2×2×61
245=5×7×7
246=2×3×41
247=13×19
248=2×2×2×31
249=3×83

なので、あてはまる整数はありません。


ということは、972が最大とわかるので、972が②の答えです。




①は見落としやすそうですし、
②は「素数が7つ以上」という条件が気になってしまい、
調べ尽くしているかどうか、自信が持てない問題ですね。


あとまわしにすると良い問題です。


ただ、前問(大問4)が調べる問題でしたので後回しにしていたとすると、
「2問続けて後回し」ということになってしまい、
受験生には心理的に負担がかかる問題です。


テスト用紙全体をざっと見て
「おっ、後半の図形問題は何となく取り組みやすそうだ...」
と思えれば、
2問とも後に回すことも可能です。


灘中の図形問題は、
3問中2問(または2問中1問)は取り組みやすい問題であることが多いので、
「試験が始まれば、まずテスト用紙全体に目を通す」
ということが有効ですね。





では次に、その図形問題の1つ目、大問6をみていきます。


大問6
右の図のように、面積が18cm2の正六角形ABCDEFの内部に点Gをとり、6つの頂点とGをそれぞれ直線で結びます。3点B、G、Eと、3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は①□cm2です。また、3点C、G、Eと3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は②□cm2です。






問題文の指示通りに図を書いてみましょう。


「3点B、G、Eと、3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるとき」
という図を書くと、





です。


考えやすいように、図を回転させると





18cm2×1/6×3/2=4.5cm2です。




考えやすい向きに図を回転させるという手法は、
図形が苦手なお子さんにお勧めです。


見慣れた形の方が考えやすく、お子さんの負担軽減につながるからです。




②も問題文の指示通りに図を書いてみます。





①が正解できれば、同じ解法が使えることに気づけますね。





18cm2×1/6×5/3=5cm2です。






大問5に比べると、時間を必要としない、とても平易な問題です。


灘中の1日目の図形問題には、このような「サービス問題」もありますから、
大問5を後回しにして、時間のかからない、
そして比較的解きやすい問題を見つけて先に解いていく
という取り組み方を使えるようになっているといいですね。

受験算数と塾の使い方2014年05月24日18時00分

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主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。