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2015年 中学受験対策 筑波大学附属駒場中 2

図形の練習問題2014年06月21日18時00分
第187回 「筑波大学附属駒場中 2014年」2





今回からも前回に続き、
「筑波大学附属駒場中 2014年」の問題研究 第2回です。


例年、70%程度の得点が必要と思われるテストです。
前回見ました2014年の大問1は、「サービス問題」でした。


大問2はどうだったのでしょうか?




大問2 下の図は、それぞれ同じ大きさの正六角形をすき間なくかいたものです。各図において、点A、Bは正六角形の頂点で、点P、Qは、AとBを結ぶまっすぐな線と正六角形の辺との交わった点です。なお、正六角形の大きさは、各図でちがいます。次の(1)、(2)、(3)の各図について、ABの長さが30cmのとき、APとPQの長さをそれぞれ求めなさい。

(1)





(2)





(3)









平面図形の問題です。


問題図が似ていますから、
「もしかすると解法は共通?
じゃあ、(1)を丁寧に考えれば(2)や(3)のヒントになるかも…」
という発想ができるようになれば、
誘導形式の問題の練習もかなりできてきた証拠です。



さて、正六角形で長さの比がわかるということは、
次のような図の場合です。





まずは、これを問題図に書き込んで考えてみましょう。


(1)





図から、AP:PB=1:2 なので、
AP=AB×1/3=30cm×1/3=10cmとわかります。

点Qは下の図のように点対称図形の中心なので





AQ=15cm ですから、PQ=AQ-AP=15cm-10cm=5cmです。


(1)から、
「等間隔に並んでいること」を利用して解く問題のようだ
と見当がつきます。


(2)
点Qの位置は(1)で使った「等間隔」を利用すると、





AQ:QB=3:2 とすぐにわかりますので、
AQ=AB×3/5=30cm×3/5=18cm です。


APは一見、上手くいかないように見えるのですが、
正六角形を規則的に並べるとたて横以外に、
斜めにも等間隔に並んでいる
ことを利用します。





AP=AB×1/4=30cm×1/4=7.5cmですから、
PQ=AQ-AP=18cm-7.5cm=10.5cmと求められます。


どの頂点とどの頂点が一直線上に並んでいるかという知識は、
正六角形を自分で書いたり、
規則的に並んだ問題の演習を解いたりすると、
身についていきます。



(3)もAPの長さは簡単です。





AP=AB×1/5=30cm×1/5=6cmです。

AQも(2)と同じように、三角形の相似が使えます。





AQ=AB×3/7=30cm×3/7=12 6/7cm ですから、
PQ=AQ-AP=12 6/7cm-6cm=6 6/7cmです。




「どの頂点とどの頂点が一直線上に並んでいるか」
に気づくことができれば、
この大問2も全問正解できる問題です。


筑波大学附属駒場中を受験するレベルであれば、
正六角形を敷きつめた問題も演習していることでしょうから、
「どの頂点とどの頂点が一直線上に並んでいるか」に気づくことも
容易だったと思われます。


2014年度は大問1、2では差がつかないため、
次回はポイントになりそうな大問3を見る予定です。

図形の練習問題2014年06月21日18時00分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
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