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2015年 中学受験対策 麻布中2

中学入試の算数問題2014年07月26日18時00分
第192回 「麻布中 2014年」2





今回も「麻布中 2014年」の問題研究(後半)です。


算数は60分60点で、
2014年度の入試結果は合格最低点が105点/200点(4科目)でしたから、
算数は30点超が必要という計算になるテストです。


2014年度の前半3問は、取りこぼしすると厳しい問題でした。


後半の3問はどうだったのでしょうか。




大問4 A、B、C、Dの4つの容器があります。Aには濃さ12%の食塩水が80g、Bには濃さ4%の食塩水が160g、Cには濃さ5%の食塩水が40gそれぞれ入っています。Dには何も入っていません。A、B、Cの食塩水をそれぞれ20gずつ何回か取り出して混ぜ、Dの容器に濃さ6%の食塩水を作ります。できるだけたくさんの食塩水を作るには、それぞれから何回ずつ取り出して混ぜればよいですか。ただし、食塩水の濃さとは、食塩水の重さに対する食塩の重さの割合のことです。








「上手く」混ぜ合わせて、「できるだけ多く」の食塩水を作る問題は、
これまでにも難関中の入試問題で出題されています。


このとき「上手く」の部分に目がいきやすいのですが、
この問題で問われていることは「できるだけ多く」です。


「できるだけ多く」ですから、
「全部混ぜるとどうなるか」から考えると解きやすそう
ですね。


80g×0.12=9.6g…Aに含まれる食塩の重さ
160g×0.04=6.4g…Bに含まれる食塩の重さ
40g×0.05=2g…Cに含まれる食塩の重さ
(9.6g+6.4g+2g)÷(80g+160g+40g)=0.064… → 約6.4%


全部を混ぜると6%を少し超えてしまいますから、
6%より濃い食塩水Aの量を少し減らせば良い
ことがわかります。


あとは、てんびん法やモーメント、比などを使って求めます。






モーメントの考え方を使うと、
160g×(6%-4%)+40g×(5%-4%)=□g×(12%-6%) なので、
□=60(g)とわかります。


ですから、Aから3回、Bから8回、Cから2回が答えです。




 大問5 1番から9999番までの9999枚のカードを考えます。それぞれのカードには、番号の下にかっこがあり、その中に2つの数が右図のように書かれています。この2つのうち、左の数はカードの番号を99で割った余り、右の数はカードの番号を101で割った余りです。ただし、割り切れるときは0と書かれています。最初の方のカードは下図のようになります。







(1) 番号が101番、102番、103番、202番、203番、204番のカードの、かっこの中の数をそれぞれ書きなさい.
(2) 番号の下に(51、41)と書かれているカードが1枚あります。それは何番のカードですか。

 次に1番から999900番までの999900枚の別のカードを考えます。それぞれのカードには、番号の下にかっこがあり、その中に3つの数が右図のように書かれています。この3つのうち、左の数はカードの番号を99で割った余り、真ん中の数はカードの番号を100で割った余り、右の数はカードの番号を101で割った余りです。ただし,割り切れるときは0と書かれています。
(3) かっこの中の左の数が51、右の数が41であるカードの番号を小さいものから順に3つ書きなさい。
(4) 番号の下に(37、15、1)と書かれているカードが1枚あります。それは何番のカードですか。








問題で指定されたルールにしたがって解き進める、演算問題です。


演算問題は、
前半はルールを理解するための作業問題、
後半は把握したルールからこの問題を解くための方法を発見して解かせる問題、
という構成が一般的
です。


(1) 101÷99=1あまり2 101÷101=1あまり0 →(2,0)
102÷99=1あまり3 102÷101=1あまり1 →(3,1)
103÷99=1あまり4 103÷101=1あまり2 →(4,2)
202÷99=2あまり4 202÷101=2あまり0 →(4,0)
203÷99=2あまり5 203÷101=2あまり1 →(5,1)
204÷99=2あまり6 204÷101=2あまり2 →(6,2)


(2) (1)から規則がありそうだとわかりますから、
規則を発見しやすくするために、表にまとめてみましょう。




商が1のときはあまりの差が2、商が2のときはあまりの差が4…
となっていますから、
「あまりの差÷2=商」という、予測が立ちます。


51-41=10…あまりの差 → 10÷2=5…予測される商


試してみると、
99×5+51=546 101×5+41=546 で、
上手く見つかりました。 → (2)の答え 546番


(3) (2)が下図のイメージです表せますから、





(3)のイメージは下図のようになります。





ですから、小さい順に546番、10545番、20544番となります。


(4)(2)→(3)という「誘導」から、(37、15、1)を求めるには、
まず(37、1)を考えれば良い
ことがわかります。


(2)と同じ方法から、
101×{(37-1)÷2 }+1=1819 が、
(37、1)となる最小の整数です。


1819÷100=18あまり19
(1819+9999)÷100=118あまり18
(1819+9999×2)÷100=218あまり17


あと少しで「あまり15」になりそうですから、
強引に計算で押し切ってしまいましょう。


(1819+9999×3)÷100=318あまり16
(1819+9999×4)÷100=418あまり15 →41815番が答えです。




(3)の「小さい方から3つ」という部分が、
「最小公倍数をたしていく」ヒントになっています。


これに気がつけば全問正解できますが、
算数が苦手なお子さんには少し難しいかもしれません。


大問5は、(1)の正解は絶対に必要ですから、
(2)がポイントになる問題だといえます。


大問4はやや難しい問題ですから、
後回しにして大問5-(1)、そしてできれば(2)の正解を目指すのが
「作戦」でしょう。




大問6は第173回のブログでご紹介していますので
解説はそちらをご覧下さい。


算数が苦手なお子さんは、大問5同様に、
大問6-(1)、できれば(2)の正解を目指したいところです。




2014年度の麻布中の入試問題は、実力の差がでやすい、
非常によく練られた問題だったと思います。


それだけに麻布中のレベルにおける基本、中級を正解できるかどうかが、
合否を左右します。


麻布中の受験を希望するお子さんは、塾の模擬テストを通して、
正答率の高い問題を失点していないかをチェックし、
もし失点があれば、この夏休みの間に
弱点分野の補強やテストの取り組み方の修正をしておく
ようにしましょう。


中学入試の算数問題2014年07月26日18時00分

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主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。