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2015年 中学受験対策 筑波大学附属駒場中 4

場合の数の練習問題2014年07月05日18時00分
第189回 「筑波大学附属駒場中 2014年」4





「筑波大学附属駒場中 2014年」の問題研究の最終回は、いよいよ大問4です。


2014年の入試問題は、
大問1、2は比較的平易な問題、
大問3はそれよりは難度が高い問題でしたが、
それでも計算で乗り切れることもあり、
大問3までに受験生の間で差がつくということはなかったと思います。


最後の大問4の出来不出来が合否を分けたのでしょうか…?




大問4 いくつかのサッカーチームが参加して、総当たり(各チームが他のすべてのチームと1回ずつ対戦すること)の大会を行います。大会の各試合について、次のようにポイントが与えられます。
勝敗がついたとき   勝ったチームに3点、負けたチームは0点
引き分けのとき    両チームに1点ずつ
大会のすべての試合が終わった後、各チームでポイントの合計を計算します。
ここでは、計算した各チームの合計ポイントの組み合わせに、どのようなものがあるかを考えます。
たとえば、参加が2チームのときは1試合が行われ、合計ポイントの組み合わせは(3、0)、(1、1)の2通りになります。
参加が3チームのときは、引き分けが1試合もなければ合計ポイントの組み合わせは(6、3、0)、(3、3、3)の2通りです。また、3試合とも引き分けならば(2、2、2)だけになります。

参加が4チームのとき、次の問いに答えなさい。

(1)4チームの合計ポイントをすべて加えると何点になりますか。考えられるもののうち、最も大きい数と最も小さい数を答えなさい。

(2)4チームの中に合計ポイント9点のチームがあるとき、他の3チームの合計ポイントの組み合わせには、どのようなものがありますか。数を大きい順に並べて、上の例にある(○、△、□)のようにして、考えられるものをすべて答えなさい。

(3)4チームの中に合計ポイント7点のチームが1チームだけあるとき、他の3チームの合計ポイントの組み合わせは何通りありますか。










条件を整理する問題です。


条件を整理する問題にはその問題ごとのルールがあります。
問題本文に書かれたルールを正確に理解しなければ、
正解することができません。


また、問題が誘導形式になっていることも多いので、
(1)を解きながら問題の背景に隠された問題の本質
=正しい解き方のヒントを考える
ことも大切です。




(1) 勝敗がつくと、勝ちチーム3点+負けチーム0点=3点 が、
1試合あたりの合計点です。


引き分けた場合は、両チームに1点ずつの計2点 が、
1試合あたりの合計点です。


ですから、合計ポイントを「すべて加えた」とき、
最大になるのは全試合で勝負がついたときで、
最小になるのは全試合が引き分けのときです。


4チームの総当たり戦の試合数は、4C2=4×3÷2=6試合 ですから、
3点×6試合=18点…最大、2点×6試合=12点…最小 が(1)の答えです。




このあたりは「ジャンケンと階段の登り降り」問題で練習する機会が多いので、
困った受験生はいなかったことでしょう。


これでは、まだ、差がつきませんね。




(2) 4チームの場合、あるチームがする試合数は他の3チームとの3試合です。


この3試合で9点になる方法は、3勝0敗0分けのときだけです。





上の図から、残った3チームについてだけ考えればよいことがわかります。


下図の黄色の部分で、勝ち(○)、負け(×)、引き分け(△)の入れ方を考えます。






すると、





の7通りがあるので、
答えは
(6、3、0)(6、1、1)(4、3、1)(3、3、3)(4、2、1)(4、4、0)(2、2、2)
です。(順不同)




(3) (2)が誘導になってます。


7点のチームは2勝0敗1分けです。


仮にAチームが7点だったとして、
どのチームに対して2勝1引き分けになったのかという場合分けをして、
(2)と同様に勝敗表を書きます。



影をつけた表は勝敗数が、
斜線をつけた表はポイントの組み合わせが他の表と重複しますので、
それらを除くと全部で12通りです。




(3)は(2)が誘導になっているのですが、調べる量が多いので大変です。


試験時間が40分しかありませんので、
「(3)をパスしてそれ以外の得点しやすい問題を正解する」
という取り組み方が現実的な2014年度の入試問題でした。


2014年度の筑波大学附属中の入試問題は受験生にとって取り組みやすい問題でしたが、
それ以前の入試問題は手間のかかる問題が多く含まれています。


そのような問題も十分練習して2015年度入試に備えたいと思います。


場合の数の練習問題2014年07月05日18時00分

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主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。