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「合い言葉」で算数の入試問題を解こう2

図形の練習問題2016年05月07日18時00分

第286回「『合い言葉』で算数の入試問題を解こう2 直角三角形問題と面積の差」


ゴールデンウィークも終わり、再びいつもの1週間が始まります。


しかし、ゴールデンウィーク中の学習で新たな課題が見つかっていれば、
それを夏までに解消できるような家庭学習も必要でしょう。


その課題が「解法知識を正確に使いこなす」というものであれば、
前回からご紹介している「合い言葉」という解法知識の覚え方が
参考になるかも知れません。


今回も「合い言葉」を使って入試問題の解き方を考えていきます。





2016年度 慶應義塾中等部 入試問題 算数より

20160503134848.jpg大問3-(2) [図2]は2つの長方形ABCDとAEFCで、点Bは辺EF上の点です。このとき、辺CFの長さは何cmですか。(一部改題)












解き方は2つあり、
そのひとつは三角形ABCの面積が、
長方形ABCD、長方形AEFCそれぞれの面積の1/2になっていることから、
「長方形ABCDの面積=長方形AEFCの面積」を利用して
CFの長さを求める方法です。


もし、
「三角形ABCの面積が、長方形ABCD、長方形AEFCそれぞれの面積の1/2になっている」
ことに気づけなくても、
「合い言葉」を利用して解くことができます。


問題図には直角三角形が4つありますから、
この問題は「直角三角形問題」です。


直角三角形問題の合い言葉は
「角に○、×、90°(直角の記号)を書く」
です。


この合い言葉の目的は
「相似な関係にある直角三角形を見つける」
ことにあります。


[図2]に○、×、直角を書き込んでみましょう。

20160503134925.jpg

すると、4つの直角三角形がすべて相似とわかります。


20160503134945.jpg三角形の3つの辺の長さの比は3:4:5ですから、
右図のようにして、答えを求めることができます。









「三角形ABCの面積が、長方形ABCD、長方形AEFCそれぞれの面積の1/2になっている」
ことに気づくことができなくても、
「直角三角形問題は、角に○、×、直角を書いて、相似を利用する」
という「合い言葉」を覚えておくと、
正解にたどり着くことができました。


もう1問、ご紹介します。





2016年度 甲陽学院中 入試問題 算数(第一日)より

20160503135118.jpg大問5 1辺10cmの立方体の1つの頂点Aに、長さ10cmの糸の一方の端を固定して、もう一方の端Pが到達できる範囲を考えます。ただし、糸はいつも立方体の表面にあるものとします。また、円周率は3.14とします。

(1)立方体の表面のうちで、Pが到達できる範囲の面積を求めなさい。

(2)次に、Aのとなりの頂点Bに同じ長さの糸の一方の端を固定して、もう一方の端Qが到達できる範囲を考えます。立方体の表面のうちで、PもQも到達できない範囲の面積は、PとQの両方が到達できる範囲の面積より何cm
2大きいですか。








甲陽学院中は関西エリア最難関中の1校ですが、
本問は立体図形の面で点が動くことのできる範囲を求めるという、
比較的多くの学校で出される問題です。


20160503135150.jpg(1)は右の図のようになりますから、
10cm×10cm×3.14×3/4=
235.5cm2
とわかります。





(2)立体図形の「合い言葉」に
「長さは展開図や投影図を書いて求める」があります。


「合い言葉」というよりも「鉄則」といってもよいでしょう。早速、展開図を書いてみます。

20160503135219.jpg


この問題では「正三角形の底辺の長さと高さの比」が与えられていませんから、
PとQの両方が到達する「レンズ形」の面積を求めることはできません。


そこで、「合い言葉」の出番です。


問題文に「~は~より何cm2大きいですか」とありますから、
平面図形の合い言葉「差とくれば、つけたし」が利用できます。

20160503135301.jpg


10cm×10cm×6-10cm×10cm×3.14×1/4×6=
129cm2 





今回も前回同様、「合い言葉」を利用すると、
中学入試でよく出題される問題を解くことができました。


よく出題されるということはライバルが解くことができる問題でもありますから、
「解法知識を正確に使いこなす」という課題を克服して、
これらの問題を正解できるようになることが必要です。


実戦演習をすることになる夏期講習が始まるまでに、
「解法知識を正確に使いこなす」ための「合い言葉」をたくさん覚えて、
練習できるといいですね。

20160503135342.jpg mflog.GIF

図形の練習問題2016年05月07日18時00分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
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