Tweet
第666回 共学中の入試問題 数と計算 3
「第６６６回 共学中の入試問題 数と計算 ３」
ここまで近年の共学中の入試問題で出された「数と計算」の問題を取り扱っています。
今回は「数列」と「数表」の問題を見ていきます。
１問目は、基本レベルの問題です。
【問題】下のように、あるきまりにしたがって全部で５０個の数字を並べました。
２、０、２、３、２、０、２、３、２、０、…
並べた５０個の数字をすべて加えたときの和を求めなさい。
（専修大学松戸中学校 ２０２３年 問題２－（２） 問題文一部変更）
【考え方】
「２、０、２、３」の４個１セットを繰り返しています。
繰り返しの数列は表に整理することができます。
５０個÷４個＝１２セットあまり２個 → ５０個目の数字は１３セット目の２番目です。
ですから、和は
７×１２＋２＝８６
です。
答え ８６
本問は、繰り返す数列（周期タイプ）の基本が確認できる問題です。
余りとその和の処理に注意して解きましょう。
２問目は大問形式の問題です。
【問題】数学者ガウスは幼き日に、１＋２＋３＋……＋９８＋９９＋１００の計算を、「逆の順に並べた式と加えたものを２で割って計算した」と言われています。
よって、１０１×１００÷２＝５０５０
次の問いに答えなさい。
（１）偶数の和２＋４＋６＋……＋９６＋９８＋１００はいくつですか。
（２）３の倍数の和１０２＋１０５＋１０８＋……＋２６１＋２６４＋２６７はいくつですか。考え方も書きなさい。
（法政大学第二中学校 ２０２３年 問題４）
【考え方】
（１）
１００は２から数えて １００÷２＝５０番目 の偶数です。
（２＋１００）×５０÷２＝２５５０
答え ２５５０
（２）
１０２は３から数えて １０２÷３＝３４番目
２６７は３から数えて ２６７÷３＝８９番目
の３の倍数です。
１０２から２６７までに３の倍数は
８９番目－３３番目＝５６個
あります。
（１０２＋２６７）×５６÷２＝１０３３２
答え １０３３２
本問は、等差数列の和の公式の理由が確認できる問題です。
問題の誘導に従ってもよいですし、すぐに等差数列の和の公式を使って解いてもよいでしょう。
３問目も、大問形式の問題です。
【問題】下の図のように、ある規則にしたがって数字が並んでいます。このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）［ ア ］段目には［ イ ］個の数が並んでいて、それらの合計は４００です。［ ア ］、［ イ ］に入る数の和を求めなさい。
（２）上の図の数を１段目から順番に下のように一列にならべます。
１、１、２、１、１、２、３、２、１、１、２、３、４、３、２、１、１、…
１０００番目までに出てくる数の中で最も大きい数はいくつですか。
（帝京大学中学校 ２０２３年 問題３ 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
「和が４００」とわかっていますので、各段の和を調べてみます。
１段目の和 … １
２段目の和 … １＋２＋１＝４
３段目の和 … １＋２＋３＋２＋１＝９
４段目の和 … １＋２＋３＋４＋３＋２＋１＝１６
調べると□段目の和は □×□（段の数の平方数）となっています。
４００＝２０×２０ → ア＝２０
次に、「個数」についても調べます。
１段目の個数 … １個
２段目の個数 … ３個
３段目の個数 … ５個
４段目の個数 … ７個
調べると□段目の個数は □×２－１（１から始まる奇数）となっています。
２０（段）×２－１＝３９（個） → イ＝３９
ですから、アとイの和は
２０＋３９＝５９
です。
答え ５９
（２）
各段の真ん中の数がその段で最も大きい数ですから、１０００番目の数が何段目にあるかを調べることにします。
個数の和は１から始まる奇数の和ですから
１から始まる奇数の和＝奇数の個数の平方数
が利用できます。
１０００＝３１×３１＋３９
より、１０００番目の数は３２段目の左から３９番目の数とわかります。
３２段目の真ん中の数は左から３２番目にある３２です。
答え ３２
本問は、個数が１個、３個、５個、…のように規則的に増えていく群数列（本問では「群」が「段」で表現されています）が数表の形で表された問題です。
「和」を問われたら「和の規則性」を、「個数」を問われたら「個数の規則性」を求めるという基本に従って解くことを確認しましょう。
最後も、「数表」の問題です。
【問題】奇数を１つずつ書いたカードを１から順に並べて、下の図のような正方形をつくっていきます。
（１）各辺に１０枚のカードを並べたとき、カードに書かれた最大の数を求めなさい。
（２）各辺に何枚のカードを並べると、左上のカードに書かれた数が５１３になりますか。
（青山学院中等部 ２０２３年 問題１０ 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
問われている「最大の数」について調べることにします。
カードを各辺の２枚並べたとき（合計４枚） → 最大の数は７
カードを各辺に４枚並べたとき（合計１６枚） → 最大の数は３１
カードを各辺に６枚並べたとき（合計３６枚） → 最大の数は７１
調べると１辺に□枚のカードを並べたときの最大の数は □×□×２－１（合計枚数の２倍より１小さい数）となっています。
１０×１０×２－１＝１９９
答え １９９
（２）
左上のカードに書かれた数は、１つ前の正方形の最大の数より２大きい数です。
５１３－２＝５１１ … １つ前の正方形の最大の数
□×□×２－１＝５１１
□×□＝（５１１＋１）÷２＝２５６＝１６×１６
□＝１６
１つ前の正方形の各辺には１６枚のカードが並んでいますから、その次の正方形の各辺には１８枚のカードが並んでいます。
答え １８枚
本問の（１）も前問と同じように、問われている「最大の数」について規則性を見つけるという基本が確認できる問題です。
また、（２）は（１）を誘導として考える入試問題でよく出される形式の問題です。
（１）がやや易しかったり、作業手順を確認したりするような問題の場合は、「誘導になっているかもしれない」ということを頭の片隅の置いておけるとよいですね。
今回は、近年の共学中の入試で出された「数列」と「数表」の問題をご紹介しました。
これらの問題は模試でも出されますので、正解できない問題があったときは、早急に、どこで間違えたかのチェックと修正をしておきましょう。
