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第777回 共学中の入試問題 平面図形 4
「第７７７回 共学中の入試問題 平面図形 ４」
近年に共学中の入試で出された「平面図形」について考えています。
前回は「辺の比と面積比」の一行問題を見ましたが、今回は大問形式の「辺の比と面積比」の問題を中心に取り扱っていきます。
１問目は折り返しの問題です。
【問題】下の図は、長方形ＡＢＣＤを、点Ｂが点Ｄに重なるようにＥＦを折り線として折り返したものです。ただし、ＧはＢＣの真ん中の点、ＨはＥＦの真ん中の点です。
① 三角形ＢＧＨの面積は何㎠ですか。
② ＤＥの長さは何㎝ですか。
（開智日本橋学園中学校 Ⅰ入試 ２０２５年 問題２－（２））
【考え方】
①
ＧがＢＣの真ん中の点、ＨがＥＦの真ん中の点ですから、Ｈは長方形ＡＢＣＤの真ん中の点（２本の対角線の交点）です。
よって、次のように、長方形ＡＢＣＤはＨを通る２本の赤色の点線によって４等分されます。
３２㎝÷２＝１６㎝
２４㎝÷２＝１２㎝
１６㎝×１２㎝÷２＝９６㎠
答え ９６㎠
②
点Ｂが点Ｄに重なるようにＥＦを折り線として折り返したので、ＢＤとＥＦは垂直に交わります。（左下図）
直角三角形ＢＧＨの角ＧＢＨの大きさを○、角ＧＨＢの角の大きさを●で表すと
○＋●＝９０度
です。
よって、直角三角形ＨＧＥの角ＧＨＥの大きさも○、角ＧＥＨの大きさも●となりますから、三角形ＢＧＨと三角形ＨＧＥは相似です。（右下図）
ＢＧ：ＧＨ＝ＨＧ：ＧＥ → ＧＥ＝１２㎝×１２㎝÷１６㎝＝９㎝
点Ｂが点Ｄに重なるようにＥＦを折り線として折り返したので、
ＤＥ＝ＢＥ＝１６㎝＋９㎝＝２５㎝
です。
答え ２５㎝
本問は、線対称移動の特徴と直角三角形の相似を利用する問題です。
②を正解できないようでしたら、直角三角形の角に○、●（○と×の組み合わせでもＯＫ）を書いて、相似な三角形や対応する辺を見つけやすくしましょう。
２問目は正三角形を題材とした問題です。
【問題】正三角形ＡＢＣにおいて、ＡＤ：ＢＥ＝３：１、ＡＤとＤＥは垂直、ＦはＡＢの真ん中の点、ＧはＡＥとＤＦが交わる点です。このとき、次の問いに答えなさい。
（１） ＡＤ：ＤＣを最も簡単な整数の比で答えなさい。
（２） 三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＥの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（３） 三角形ＡＢＣと三角形ＡＧＤの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（栄東中学校 Ⅰ入試 ２０２６年 問題３）
【考え方】
（１）
三角形ＣＤＥは角Ｃの大きさが６０度の直角三角形（正三角形の半分の形）ですから、
ＣＤ：ＣＥ＝１：２
です。
よって、ＣＤ＝□１とすると、ＣＥ＝□２です。
③＋□１＝①＋□２ → ②＝□１
ＡＤ：ＤＣ＝③：□１＝③：②＝３：２
答え ３：２
（２）
三角形ＡＢＣと三角形ＡＥＣは高さが等しい三角形なので、面積比と底辺の比は同じです。
底辺の比 ＢＣ：ＥＣ＝５：４ → 面積比 △ＡＢＣ：△ＡＥＣ＝５：４
また、三角形ＡＥＣと三角形ＡＤＥも高さが等しい三角形なので、面積比は底辺の比の ＡＣ：ＡＤ と同じ ５：３ です。
ですから、三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＥの面積比は ２５：１２ です。
答え ２５：１２
（３）
ＡＢと平行な直線ＥＨを引いてできる三角形ＡＨＥは正三角形ですから ＨＥ＝④、
ＡＨ＝ＡＣ－ＣＨ＝⑤－④＝①
です。（左下図）
また、三角形ＡＦＤと三角形ＨＩＤは相似で、相似比は
ＡＤ：ＨＤ＝ＡＤ：（ＡＤ－ＡＨ）＝③：（③－①）＝３：２
ですから、ＡＦ：ＨＩ も ３：２ です。
ＡＦ＝⑤÷２＝○２.５
ＨＩ＝○２.５×２/３＝○５/３
ＥＩ＝④－○５/３＝○７/３（中央下図）
さらに、三角形ＥＩＧと三角形ＡＦＧも相似で、相似比が
ＥＩ：ＡＦ＝○７/３：○２.５＝１４：１５
ですから、ＥＧ：ＡＧ も １４：１５ です。（右下図）
三角形ＤＧＥと三角形ＡＧＤとは高さが等しい三角形なので、面積比は底辺の比の ＥＧ：ＡＧ と同じ １４：１５ です。
（１）で求めた三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＥの面積比と、連比に表します。
よって、三角形ＡＢＣと三角形ＡＧＤの面積比は ７２５：１８０＝１４５：３６ です。
答え １４５：３６
本問は、３つの内角の大きさが３０度、６０度、９０度の三角形、高さの等しい三角形、相似な三角形を組み合わせて考える問題です。
１つ前の問題が誘導となっていることを利用して、順に解いていきましょう。
なお、（２）では、「底辺と高さの比の積」を利用する解き方もあります。
最後は正六角形の定番問題です。
【問題】下の図の正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて、ＡＧ：ＧＢ＝１：３、ＣＨ：ＨＤ＝１：４です。
① 四角形ＢＣＨＧの面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍ですか。
② 三角形ＧＨＥの面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍ですか。
（早稲田実業学校中等部 ２０２６年 問題２－（２））
【考え方】
①
四角形ＢＣＨＧが正六角形の辺上の２点を結ぶ直線（ＧＨ）で正六角形を区切ってできる四角形なので、「正六角形の辺を延長して、正三角形をつけたす」という方針を立てることができます。（左下図）
このとき、つけたされる正三角形は正六角形の１/６の大きさです。（右下図）
つけたした三角形ＢＩＣと四角形ＢＣＨＧを直線ＢＨで区切ってできる三角形ＢＣＨは高さが等しい三角形なので、面積比と底辺の比と同じです。
底辺の比 ＩＣ：ＣＨ＝５：１ → 面積比 △ＢＩＣ：△ＢＣＨ＝５：１（左下図）
さらに、三角形ＢＩＣと三角形ＢＣＨを合わせた三角形ＢＩＨと三角形ＧＢＨも高さが等しい三角形なので、面積比は底辺の比である ＢＩ：ＧＢ と同じ ４：３ です。（右下図）
面積比の関係を連比に整理します。
２＋９＝１１ … 四角形ＢＣＨＧの面積
１１÷６０＝１１/６０（倍）
答え １１/６０倍
②
「傾いた三角形の面積は、全体から引く」という方針を立てることができます。
はじめに正三角形ＡＦＪをつけたして四角形ＡＧＥＦの面積を求めます。
このとき、①と同じように「四角形を２つの三角形に分ける」ことで求めることができますが、ここでは「共通角をはさむ２辺の積」を利用してみます。
三角形ＡＦＪと三角形ＧＥＪは角Ｊが共通な三角形なので、面積比は角Ｊをはさむ２辺の積の比と同じです。
２辺の積の比 （ＪＡ×ＪＦ）：（ＪＧ×ＪＥ）＝（４×４）：（５×８）＝２：５ → 面積比 △ＡＦＪ：△ＧＥＪ＝２：５
次に、三角形ＤＥＨの面積を求めます。
三角形ＤＥＨは正六角形ＡＢＣＤＥＦの１つの頂点と辺上の点を結ぶ直線で区切られた図形ですから、その面積の求め方には、①と同じ方法と正六角形を分割する方法の２つがあります。
ここでは、正六角形を分割する方法を用いてみます。
三角形ＣＤＥは正六角形ＡＢＣＤＥＦを６分割したうちの１つ分で、三角形ＣＥＨと三角形ＤＥＨは高さが等しい三角形ですから、三角形ＤＥＨはの面積は三角形ＣＤＥの面積の４/５にあたります。
６０－（１１＋１５＋８）＝２６ … 三角形ＧＨＥの面積
２６÷６０＝１３/３０（倍）
答え １３/３０倍
本問は、正六角形の辺の比と面積比の関係を確認できる問題です。
応用レベルの問題ですが定番の問題でもありますので、既習範囲であれば全問正解できることが理想です。
今回は、２０２５年度と２０２６年度に共学中で出された大問形式の「辺の比と面積比」の問題を中心に３問をご紹介しました。
一行問題で用いた解法の他に、方針の立て方や補助線の引き方、正六角形の特徴なども必要としていますので、正解できない問題があればどの部分に課題があるかを確認して、今後の学習につなげましょう。
