「第296回　苦手の克服　速さ7」


「速さ」の苦手克服のため、
前回は「ダイヤグラム解法の着目点　相似（上級）」について触れました。


今回はダイヤグラムの着目点の2つ目、
「山＆谷（山あり谷あり）」を見ていきます。


まずは基本レベルの問題をご紹介します。




2015年度　大妻中　入試問題　算数より

大問3　Aさんは、家から図書館まで歩いて行きます。毎分80mの速さで行くと図書館にちょうど予定の時間で着き、毎分60mの速さで行くと予定の時間より8分遅く着くごとになります。家から図書館まで何分で行く予定ですか。








この問題は次のようにして解くことができます。



ダイヤグラムを用いても、
速さの3公式と比の関係を利用しても、
①＝8分→③＝24分が求められます。


この問題はダイヤグラムの中にある
「谷＝三角形(大)－三角形(小)」に着目する問題です。



この他に、「山＝三角形(大)＋三角形(小)」もあります。



いずれも、「速さの比←（逆比）→時間の比」の関係がわかる部分です。


一行問題などでは上記のような「山」や「谷」が1つだけのことが多いのですが、
少しレベルが上がると、グラフの一部分に「山」や「谷」が含まれるようになります。




2015年度　市川中　入試問題　算数より

大問4　A駅とB駅の間を片道20分間で何度も往復する1台のバスがあります。バスは、各駅で４分間停車し、折り返して出発します。ある日、バスは8時ちょうどにA駅を出発しB駅へ向かいました。その後、市川君は8時18分に自転車でB駅を出発し毎時12kmの速さでA駅へ向かいました。市川君がはじめてバスに追い越された時刻が8時26分だったとき、次の問いに答えなさい。ただし、バスの速さと自転車の速さはそれぞれ一定であるとします。

(1)A駅とB駅の間の距離は何kmですか。

(2)市川君が前から来るバスと2回目にすれ違うのは何時何分ですか。











(1)の答えを求めるためには何がわかればよいかを考えます。

バスはAB間を20分で走ることがわかっていますから、
速さがわかればOKです。


また、市川君は速さがわかっていますから、
AB間を何時間で進むかが必要です。


しかし、(2)を見ると市川君がAB間を何時間で進むかは
求めにくいことが予測できます。



そこで、
「市川君の速さ12km/時とバスの速さの比を、
市川君とバスの時間の比がわかるところから求める」
という方針が立ちますので、
時間条件が多い部分に着目します。



市川君とバスの時間の比が4：1とわかりますので、
速さの比は1：4、
バスの速さは 12km/時×4＝48km/時 と求められます。
48km/時×1/3時間＝16km　


(2)(1)でAB間の距離がわかりましたので、
市川君がAB間にかかる時間を求め、
この図のひとつ前の図のような
「砂時計型相似」を利用することができます。


しかし、バスの速さがわかっていますから
「山」を利用した方がより簡単に答えを求めることができます。



（9時8分－8時18分）×1/5＝10分　→　9時8分－10分＝8時58分　




この問題には「相似」「山」「谷」が含まれています。


初めのうちは、見つかった「相似」「山」「谷」について
手当たり次第に「わかること」を求め、
答えに使えるものを選ぶ、という順序でOKです。


しかし、ダイヤグラムの着目点を身につけた後は、
「何がわかれば答えがでるか」を考え、
そのために
「どの着目点を利用するのか→グラフのどこにあるか」
という順序で答えを求めるようにします。


これによって、問題を解く時間の短縮と正答率の向上が可能になります。


その例を1問ご紹介します。




2015年度　ラ･サール中　入試問題　算数より

大問6　花子さんはA地点を毎時16kmの自転車で、太郞くんはB地点を毎時4kmの徒歩で同時に出発して、途中のC地点で会う予定でした。ところが、花子さんだけ出発が6分遅れたので、C地点よりもA地点に近いところで会いました。次の問いに答えなさい。

(1)会ったのは予定より何分遅かったですか。また、それはC地点より何mA地点に近いところですか。

(2)もし、太郞くんがC地点に着いてすぐに引き返していたら、追いかけてくる花子さんとはB地点に戻るまでに会えないところでした。AB間の道のりは何km以下ですか。








問題文をグラフに表します。



一見すると相似が4組ありますので
「手当たり次第作戦」でいこうとしても、
時間の条件がわかっていないため、
先に進むことができません。




そこで、
「何がわかれば答えがでるのか」
に切り替えて考えます。


そのために、グラフのどの部分が(1)の答えになるのかを記入してみます。



これを見ると「山の一部分」であることに気づけます 。



上図より⑤＝6分とわかりますから、
④＝4.8分　という答えが求められます。


「手当たり次第作戦」でもよいのですが、
できればこのような「どこを狙うのか」といった、
方針を立てて解く練習をしていけるといいですね。


(1)の後半は、4km/時×4.8分で求められますから、
4000m/60分×48/10分＝320m　が答えです。




(2)についてもグラフを書きます。



AB間の距離を求めるのに、
2人の速さがわかっていますから、
時間条件があれば計算できます。


そこで時間条件を求めるという視点でダイヤグラムを見ると、
「谷」を発見できます。



③＝6分　→　①＝2分　より、
BC間は花子さんが2分で進む距離とわかります。


はじめに見つけた「相似」よりAC間：CB間＝4：1ですから、
(2)の答えは16km/時×2分×5で求められます。


16km/時×2/60時間×5＝2 2/3km以下




これらの問題のように、
6年生の実力テストや入試問題では、
「グラフの一部分に「山」や「谷」が含まれている」ようになります。


ですから、
「手当たり次第にわかることを求め、答えに使えるものを選ぶ」
という手順をできるだけ早く卒業し、
「何がわかれば答えがでるかを考え、
そのためにどの着目点を利用するのか、
それはグラフのどこにあるか」
という順序で答えを求められるようになれるといいでね。


ここまででダイヤグラム解法の着目ポイント「相似」「山あり谷あり」を見てきました。


次回は「ダイヤグラム解法の着目ポイント　3.平行四辺形」の予定です。