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第751回 女子中の入試問題 立体図形 3
「第７５１回 女子中の入試問題 立体図形 ３」
前々回から、２０２５年度に女子中の入試で出された「立体図形」の問題について考えています。
今回は「立方体の切断」がテーマの問題を見ていきます。
１問目は、立方体を切断したときの体積に関する問題です。
【問題】図のような１辺の長さが６㎝の立方体があります。この立方体を図の３つの点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面で切断します。切断してできる２つの立体のうち、点Ｐをふくむ立体の体積を求めなさい。
（鷗友学園女子中学校 第二回 ２０２５年 問題７）
【考え方】
はじめに、「同じ面上の２点を結ぶ」という立体切断のきまりに従い、点Ａと点Ｂ、点Ｂと点Ｃを結びます。
ＡＢ、ＢＣを結ぶと「同じ面上の２点」がなくなります。
このように、同じ面上の２点がないときは、「平行に向かい合う面の切り口は平行」という切断のきまりを利用します。
しかし、切り口ＡＢのある面と向かい合う面や切り口ＢＣのある面と向かい合う面に、切り口の端にあたる点がありません。
「同じ面上の２点を結ぶ」や「平行に向かい合う面の切り口は平行」というきまりを使えない場合は、３つ目のきまりである「（切り口のある面を）延長する」を利用します。
このとき、「延長する側に立方体をつけたす」ようにすると、作図がしやすいです。
切り口ＡＤが立体の底面にあります（左上図）から、図形を真上から見た図をかく（右上図）と、点Ｄの位置を求められます。
作図した点Ｄと点Ｃは同じ面上にありますから、「同じ面上の２点を結ぶ」に従って、この２点を結びます。
ＣＤとＣＤを延長してできる２つの赤色の三角形は相似なので ★＝６㎝（左下図）となり、点Ｅは立方体の頂点と重なります。（右下図）
次に、点Ｅは、切り口ＢＣのある面と平行向かい合う面にありますから、「平行に向かい合う面の切り口は平行」という切断のきまりに従って、切り口ＥＦを作図します。
最後に、点Ｆと点Ａは同じ面上にありますから、これらの２点を結ぶことで、立方体の切断面ＡＢＣＥＦの作図が完成します。
切断してできる２つの点立体のうち、点Ｐを含まない立体は三角すいＥ－ＨＧＤから２つの三角すい（赤色）を取り除いたものです。（右下図）
三角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められます。
６㎝＋３㎝＝９㎝ … ＨＧ、ＨＤの長さ
９㎝×９㎝×１/２×６㎝÷３－３㎝×３㎝×１/２×２㎝÷３×２＝７５㎤ … 点Ｐを含まない立体の体積
６㎝×６㎝×６㎝－７５㎤＝１４１㎤
答え １４１㎤
本問は、立方体の切断の作図を確認できる問題です。
正解できないときは、切断の３つのきまりである「同じ面上の２点を結ぶ」、「平行に向かい合う面の切り口は平行」、「延長する」の、どのきまりの使い方に課題があるのかをチェックしましょう。
２問目は、立方体の切断面の面積に関する問題です。
【問題】下の図のような立方体があります。点Ｐ、Ｑ、Ｒはそれぞれ辺ＡＤ、ＣＤ、ＡＥのちょうど真ん中の点です。この立方体を、点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面で切断したときの切断面の面積と、点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切断したときの切断面の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
（香蘭女学校中等科 第１回 ２０２５年 問題１－⑥ 問題文一部変更）
【考え方】
前問と同じように、切断の３つのきまり（同じ面上の２点を結ぶ、平行に向かい合う面の切り口は平行、延長する）に従って、切断面を作図します。
上の図のように、点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面で切断したときの切断面はＡＦを１辺とする正三角形、点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切断したときの切断面は辺ＲＴを１辺とする正六角形です。
正六角形は６つの合同な正三角形に分けることができます。（下中央図）
また、三角形ＡＥＦと三角形ＲＥＴは相似比が ＡＥ：ＲＥ＝２：１ の三角形ですから、ＡＦ：ＲＴも２：１です。（右上図）
ですから、正三角形ＡＦＣの面積と、正六角形ＰＲＴＵＶＱの１/６である正三角形ＲＴＯの面積比は
（２×２）：（１×１）＝４：１
です。
よって、点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面で切断したときの切断面（三角形ＡＦＣ）の面積と、点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切断したときの切断面（正六角形ＰＲＴＵＶＱ）の面積の比は
４：（１×６）＝２：３
です。
答え ２：３
本問は、切断の作図と正六角形の特徴を確認できる問題です。
作図が上手くいかないときは、前問と同じく、切断の３つのきまりである「同じ面上の２点を結ぶ」、「平行に向かい合う面の切り口は平行」、「延長する」の、どのきまりの使い方に課題があるのかをチェックしましょう。
今回は、２０２５年度に女子中の入試で出された「立方体の切断」の問題をご紹介しました。
立方体の切断の作図は立体図形の切断の考え方のもとになるものですから、３つある切断のきまりをすべて使えるようになることが望ましいです。
切断のきまりの使い方は、「同じ面上にある２点を結ぶ」、「平行に向かい合う面の切り口は平行」、「延長する」の順に難しくなりますので、作図が苦手なようでしたら、どのきまりまで使うことができ、どのきまりが苦手かを明確にして課題を克服していきましょう。
また、切断面の辺の長さを間違えるようでしたら、立方体を正面や真横、真上から見た図（投影図）をかいて求められることを確認します。
立体図形の切断は難しい問題ですが、切断のきまりと投影図を使って、１問でも多く解けることを目指しましょう。
