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第771回 共学中の入試問題 速さ 3
「第７７１回 共学中の入試問題 速さ ３」
ここまで、近年に共学中の入試で出された「速さ」について見てきています。
今回は「旅人算」の考え方を利用する問題を取り扱います。
１問目は隔たりグラフの問題です。
【問題】大喜さんと千夏さんは同時に学校を出発して８７０ｍはなれた駅へ向かいました。大喜さんは駅に着くと忘れ物をしたことに気がついて、すぐに学校へ戻りました。下の図は、学校を出発してからの時間と２人の間の距離の関係を表したものです。ただし、２人の歩く速さはそれぞれ一定とします。
（１） 千夏さんの歩く速さは毎分何ｍですか。
（２） ２人が出会ったのは、学校を出発してから何分後ですか。
（３） ２人が出会ったのは、駅から何ｍのところですか。
（中央大学附属中学校 第１回 ２０２５年 問題１－（７））
【考え方】
（１）
２人の間の距離を表す折れ線グラフは、進む向きを変えたり、出会ったりすると曲がります。
大喜さんは学校から駅まで１０分かかりますから、駅から学校までも１０分かかり、出発してから２０分後に学校に着きます。 …（イ）
ですから、１５分後に折れ線グラフが曲がっている理由は、千夏さんが駅に着いたためとわかります。 …（ア）
８７０ｍ÷１５分＝５８ｍ/分
答え 毎分５８ｍ
（２）
８７０ｍ÷１０分＝８７ｍ/分 … 大喜さんの速さ
２人が出会うのは、学校を出発してから合わせて
８７０ｍ×２＝１７４０ｍ
歩いたときです。
１７４０ｍ÷（８７ｍ/分＋５８ｍ/分）＝１２分
答え １２分後
（３）
２人が出会ったのは、大喜さんが駅を出発してから
１２分後－１０分＝２分後
です。
８７ｍ/分×２分＝１７４ｍ
答え １７４ｍ
本問は、旅人算の隔たりグラフ（２人の間の距離を表すグラフ）の読み取りを確認できる問題です。
解答例は隔たりグラフをそのまま利用していますが、２人のダイヤグラム（進行グラフ）にかき直しても構いません。
ダイヤグラムをかいた場合、（２）では次のような「相似の利用」や「速さの比の利用」という解き方があります。
２問目は往復の出会いの問題です。
【問題】□にあてはまる数を入れなさい。
Ａ地点とＢ地点を結ぶ一本道を自転車で往復します。太郎君はＡ地点から、花子さんはＢ地点から同時に出発しました。最初に２人がすれ違ってから３５分後に、Ａ地点から１４００ｍ離れた所で再びすれ違いました。太郎君が進む速さが時速１８㎞のとき、花子さんが進む速さは時速□㎞です。
（青山学院中等部 ２０２５年 問題８）
【考え方】
２人が進む様子は、次のようなダイヤグラムで表せます。
下のグラフの赤色部分に着目すると、２人が３５分かかって進む道のりの和がＡＢ間の道のりの２倍であることがわかります。
ですから、２人が合わせてＡＢ間の道のりを進むのにかかる時間（＝２人が出発してから出会うまでの時間）は
３５分÷２＝１７.５分
です。
太郎君が
１７.５分＋３５分＝５２.５分
進んだあと、さらに１４００ｍ進むとＡＢ間を１往復したことになりますから、ＡＢ間の道のりは
（１８㎞/時×５２.５分/６０分＋１.４㎞）÷２＝８.５７５㎞
です。
上のグラフの水色部分に着目します。
８.５７５㎞÷１７.５分/６０分＝２９.４㎞/時 … ２人の速さの和
２９.４㎞/時－１８㎞/時＝１１.４㎞/時
答え １１.４
本問は「Ｎ回目の出会い」と呼ばれることもある問題です。
２人の道のりの和とかかる時間が比例していることを利用しましょう。
なお、条件を次のような線分図に表して考えることもできます。
３問目は３つの点が移動する問題です。
【問題】下の図のように、直線上にＡ地点、Ｂ地点、Ｃ地点があります。Ａ地点とＢ地点の距離は２４㎝で、Ｃ地点はＡ地点とＢ地点のちょうど真ん中にあります。
また、この直線上に３つの点Ｘ、Ｙ、Ｚがあり、点Ｘは毎秒４㎝で、点Ｙは毎秒８㎝で、点Ｚは毎秒６㎝で動き、止まることなくＡ地点とＢ地点の間を往復し続けます。いま、点ＸはＡ地点から右方向に、点ＹはＢ地点から左方向に、点ＺはＣ地点から右方向に、同時に動き出しました。このとき、次の問いに答えなさい。
（１） Ｘ、Ｙ、Ｚが同時に動き出してから、ＸとＹが初めて同じ位置になる場所をＰ地点とし、このときのＺの場所をＱ地点とします。Ｐ地点とＱ地点の距離は何㎝か求めなさい。
（２） Ｘ、Ｙ、Ｚが同時に動き出してから、３つの点が初めて同じ位置になるのは何秒後か求めなさい。
（３） Ｘ、Ｙ、Ｚが同時に動き出してから、３つの点が４回目に同じ位置になるのは何秒後か求めなさい。
（東邦大学付属東邦中学校 前期 ２０２５年 問題５ 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
２４㎝÷（４㎝/秒＋８㎝/秒）＝２秒 … ＸとＹが初めて出会うまでの時間
４㎝/秒×２秒＝８㎝ … ＡＰ間の距離
２４㎝÷２＝１２㎝ … ＡＣ間の距離
６㎝/秒×２秒＝１２㎝ … ＣＱ間の距離
上図より、Ｐ地点とＱ地点の距離は
２４㎝－８㎝＝１６㎝
です。
答え １６㎝
（２）
Ｘは
２４㎝×２÷４㎝/秒＝１２秒ごと
にＡ地点にあり、Ｙは
２４㎝×２÷８㎝/秒＝６秒ごと
にＢ地点にありますから、１２秒と６秒の最小公倍数である１２秒間の動きを調べます。
グラフは線対称な図形ですから、
□秒＝１２秒－２秒＝１０秒
です。
また、Ｚは
２４㎝×２÷６㎝/秒＝８秒ごと
にＣ地点にありますから、１２秒と８秒の最小公倍数である２４秒間の３点の動きをグラフにします。
グラフより、３つの点が初めて同じ位置にあるのは１８秒後です。
答え １８秒後
（３）
（２）より２４秒を１セットとしたときの１８秒後に３つの点が初めて同じ位置にありますから、４回目は
２４秒×３セット＋１８秒＝９０秒後
です。
答え ９０秒後
本問は、３つの点の移動を考えるときは、まず２つの点について調べるという基本を確認できる問題です。
（２）でグラフを利用すると（３）も考えやすくなりますが、ＸとＹの２つの点が同じ位置にある２秒後のＺの位置、６秒後のＺの位置、１０秒後のＺの位置、… のように、順々に調べるという方法もあります。
今回は、２０２５年度に共学中で出された「旅人算」の考え方を利用する問題をご紹介しました。
いずれも、２人が同じ向きに進むときは（速さの差）×（時間）＝（２人の間の距離の差）、反対向きに進むときは（速さの和）×（時間）＝（２人の間の距離の和）という基本だけを使う問題よりも難しい問題です。
しかし、定番の考え方で解く問題でもありますから、もし、正解できない問題があれば、線分図やグラフの読み取りと利用、Ｎ回目の出会いや３つ点の移動の着目点など、知識や条件整理の方法を確認し、不足している点を補いましょう。
