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第784回 共学中の入試問題 立体図形 6
「第７８４回 共学中の入試問題 立体図形 ６」
ここまで５回にわたり、近年に共学中の入試で出された「立体図形」の問題について考えてきました。
「立体図形」の最終回となる今回は、「最短距離」の問題を見ていきます。
１問目は「直方体と最短距離」の問題です。
【問題】直方体のＡからＢまでひもをかけます。ただし、ひもの太さは考えないものとします。
（１） 図１のようにＡからＢまで長さが最も短くなるようにひもをかけます。ひもの長さは何㎝ですか。
（２） 図２のようにＡからＰを通ってＢまで、長さが最も短くなるようにひもをかけます。Ｒは、（１）でかけたひもが通る点です。このとき、ＱＲは何㎝ですか。
（中央大学附属中学校 ２０２５年 第１回 問題３）
【考え方】
（１）
立体図形の表面を通る最短距離の問題では、「立体の展開図をかく」が基本の解き方です。
そこで、図１の立体の頂点に記号をつけ、展開図をかいてみます。
「ＡからＢまで長さが最も短くなるようにひもをかける」ので、展開図のＡとＢを直線で結びます。
赤色の三角形は底辺の長さが
４㎝＋８㎝＋４㎝＋８㎝＝２４㎝、
高さが１８㎝の直角三角形ですから、３辺の長さの比は
１８㎝：２４㎝：（ひもの長さ）＝３：４：５
です。
１８㎝×５/３＝３０㎝
答え ３０㎝
（２）
（１）と同様に、展開図をかきます。
このとき、「Ｐを通って」という条件がありますから、ＡとＰ、ＰとＢに分けてそれぞれの点を直線で結びます。
図アにおいて、赤色部分の三角形は相似ですから、
□㎝：１８㎝＝１２㎝：２４㎝ → □㎝＝１８㎝×１２㎝÷２４㎝＝９㎝
です。
また、図イにおいて、青色部分の三角形も相似ですから、
■㎝：（１８㎝－４㎝）＝１２㎝：（４㎝＋８㎝＋４㎝） → ■㎝＝１４㎝×１２㎝÷１６㎝＝１０.５㎝
です。
ＱＲ＝ＱＧ－ＲＧ＝１０.５㎝－９㎝＝１.５㎝
答え １.５㎝
本問は、「３辺の長さの比が３：４：５の直角三角形」という知識を必要としますが、最短距離の求め方については基本通りに解く問題です。
もし、正解できないようでしたら、立体の表面を通る最短距離が立体の展開図をかいたときに直線となること、三角形の相似を利用しやすい解答例のような展開図がかけることを確認しましょう。
２問目は「正八面体と最短距離」の問題です。
【問題】右の図は、表面が同じ大きさの正三角形８個からなる立体で正八面体といいます。この立体において、辺ＤＥ上に点Ｐ、辺ＤＦ上に点Ｑ、辺ＣＦ上に点Ｒを、ＡＰとＰＱとＱＲとＲＢの長さの合計が最も短くなるようにとります。、さらに、辺ＢＥ上に点ｘ、辺ＢＦ上に点Ｙ、辺ＣＦ上に点Ｚを、ＡＸとＸＹとＹＺとＺＤの長さの合計が最も短くなるようにとります。このとき、次の問いに答えなさい。
（１） ＤＰ：ＰＥを最も簡単な整数の比で答えなさい。
（２） 四角形ＰＱＦＥの面積は、正八面体の表面積の何倍か最も簡単な分数で答えなさい。
（３） 三角形ＡＹＱの面積は、四角形ＢＣＤＥの何倍か最も簡単な分数で答えなさい。
（東邦大学付属東邦中学校 ２０２５年 前期 問題６）
【考え方】
（１）
「ＡＰとＰＱとＱＲとＲＢの長さの合計が最も短くなる」という条件は、「ＡからＰ、Ｑ、Ｒを通ってＢまで長さが最も短くなるようにひもをかける」という条件と同じです。（図１）
そこで、正八面体においてひもの通る面の展開図をかき、ＡとＢを直線で結ぶと、３点Ｐ、Ｑ、Ｒの位置を求めることができます。（図２）
正八面体の１辺の長さを３として、図２に正三角形を次のようにつけたすと、赤色部分の三角形の相似比が１：３とわかります。
よって、
ＤＰ：ＰＥ＝ＤＰ：（ＤＥ－ＤＰ）＝１：（３－１）＝１：２
です。
答え １：２
（２）
（１）と同じように正三角形をつけたすと、ＦＲ：ＲＣ＝１：２ とわかりますので、三角形ＤＰＱと三角形ＦＲＱの相似比は
ＤＰ：ＦＲ＝１：１＝ＤＱ：ＦＱ
です。
三角形ＤＰＱと三角形ＤＥＦは角Ｄが共通なので、面積比は角Ｄをはさむ２辺の積の比と同じです。
△ＤＰＱ：△ＤＥＦ＝（１×１）：（３×２）＝１：６
よって、三角形ＤＥＦと四角形ＰＱＦＥの面積比は
△ＤＥＦ：（△ＤＥＦ－△ＤＰＱ）＝６：（６－１）＝６：５
です。
また、正八面体の表面積は三角形ＤＥＦの面積の８倍です。
５÷（６×８）＝５/４８倍
答え ５/４８倍
（３）
（１）、（２）と同様の作図をすると、３点Ｘ、Ｙ、Ｚの位置を求めることができます。
左下の図のように、正八面体は１辺の長さがＡＦと等しい立方体にぴったり入りますから、矢印の向きから見た断面ＡＢＦＤは正方形です。
また、三角形ＡＹＱの頂点Ｙは正八面体の辺ＢＦ上の点、頂点Ｑは正八面体の辺ＤＦ上の点なので、三角形ＡＹＱは正八面体の断面である正方形ＡＢＦＤの中にあります。
ところで、右上図は１辺の長さが２の立方体を下の図のように切断してできる三角すいの展開図と同じです。
３÷８＝３/８倍
答え ３/８倍
本問は、正八面体の面を通る最短距離の問題で、立方体や直方体と比べると「ひも」の通る面の展開図をかくことが難しくなっていますが、「最短距離」の考え方は同じです。
また、（３）では、正八面体と立方体の関係や立方体の特別な切り方をしたときの展開図に関する知識を利用します。
ですから、もし、この問題を正解できないようでしたら、展開図のかき方、最短距離の考え方、立方体の切断の３点に分けて、学習が不足している部分を見つけるようにします。
今回は、２０２５年度に共学中の入試で出された「最短距離」の問題をご紹介しました。
「立体図形の展開図をかくときは見取り図に頂点をつける」という基本、「最短距離は展開図で考える」という知識を確認して、正解できる問題を増やしていけるといいですね。
