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第797回 男子中の入試問題 速さ 2
「第７９７回 男子中の入試問題 速さ ２」
前回から、２０２６年度に男子中の入試で出された「速さ」の問題について見ています。
２回目となる今回のテーマは「旅人算」です。
１問目は「旅人算とグラフ」の問題です。
【問題】兄と弟は祖母の家に遊びに来ています。２人は祖母の家から１０.５ｋｍはなれた映画館に行くことにしました。祖母の家から映画館に行く途中に自宅があり、兄はバイクを、弟は自転車を自宅にとめてあります。まず、２人は祖母の家から歩いて自宅まで行き、弟は自転車に乗って９時に自宅を出発しました。兄はその３分後にバイクに乗って自宅を出発し、１.５ｋｍ走った地点で弟に追いつきました。その後、自宅から５.２５ｋｍ走った地点で祖母の家に忘れ物をしたことに気づき、すぐに引き返しました。祖母の家に着いてからすぐにバイクで出発し、弟の１０分後に映画館に着きました。もしも、弟に追いついた地点で引き返していたならば、２人は同時に映画館に着いていました。次の図は、兄と弟について、弟が自宅を出発してからの時間と、祖母の家からの距離の関係を表したものです。破線は、兄が弟に追いついた地点で忘れ物を取りに引き返していた場合の兄の移動する様子です。バイクと自転車の速さはどちらも一定であるとします。
次の［ ］にあてはまる数を求めなさい。
（１） 兄のバイクの速さは分速［ ］ｍです。
（２） 弟の自転車の速さは分速［ ］ｍです。
（３） 兄が映画館に着いた時刻は［ ］時［ ］分です。
（４） 祖母の家から自宅までの距離は［ ］ｍです。
（城北中学校 ２０２６年 第１回 問題４ 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
グラフに、「１.５ｋｍ走った地点」「自宅から５.２５ｋｍ走った地点」と「弟の１０分後に映画館に着きました」を書き込みます。
赤線の四角形、水色の四角形はどちらも平行四辺形ですから、赤色の二等辺三角形に着目すると、兄のバイクは□ｋｍを往復するのに１０分かかるとわかります。
□ｋｍ＝５.２５ｋｍ－１.５ｋｍ＝３.７５ｋｍ＝３７５０ｍ
３７５０ｍ×２÷１０分＝７５０ｍ/分
答え ７５０
（２）
兄のバイクは１.５ｋｍ（＝１５００ｍ）を
１５００ｍ÷７５０ｍ/分＝２分
で走って弟に追いつきますから、弟の自転車は１５００ｍを走るのに
３分＋２分＝５分
かかります。
１５００ｍ÷５分＝３００ｍ/分
答え ３００
（３）
兄が弟に追いついた地点で忘れ物に気づいた場合に２人が移動する様子は、次のような線分図に整理できます。
兄が弟に追いついた地点から映画館に着くまでの２人が移動する様子に着目すると、弟が移動した距離（赤色太線の矢印）と兄が移動した距離（青色太線の矢印）の和が
１０.５ｋｍ×２＝１０５００ｍ×２＝２１０００ｍ
とわかります。
２１０００ｍ÷（７５０ｍ/分＋３００ｍ/分）＝２０分 … ■～□の時間
弟が映画館に着いた時刻が
９時５分＋２０分＝９時２５分
ですから、実際に兄が映画館に着いた時刻は１０分後の９時３５分です。
答え （順に）９、３５
（４）
弟に着目します。
３００ｍ/分×（９時２５分－９時）＝７５００ｍ … 自宅から映画館までの距離
１０５００ｍ－７５００ｍ＝３０００ｍ
答え ３０００
本問の（１）は進行グラフ（ダイヤグラム）の読み取り、（３）は線分図からの旅人算の読み取りを確認できる問題です。
もし、グラフから（３）を解こうとして上手くいかないようでしたら、線分図にかき直せることを確かめましょう。
２問目は「周回するの旅人算」の問題です。
【問題】図のように、池の周りにある長さ３６０ｍのジョギングコースを３等分した地点Ｐ、Ｑ、Ｒがあります。父は毎分１５０ｍ、兄は毎分９０ｍ、弟は毎分７５ｍの速さでジョギングコースを時計回りに進み続けます。父、兄、弟はそれぞれＰ、Ｑ、Ｒを同時に出発しました。次の問いに答えなさい。
（１） 父が弟を３回追いぬくには、出発してから何分何秒かかりますか。
（２） 父がＰを、兄がＱを、弟がＲを初めて同時に通過するのは、出発してから何分後ですか。
（３） 父と兄が弟を同時に追いぬき、３人が横並びになることがありました。２回目に３人が横並びになるのは、出発してから何分後ですか。
（早稲田中学校 ２０２６年 第１回 問題３）
【考え方】
（１）
３６０ｍ÷３＝１２０ｍ … ジョギングコースの１/３の道のり
父が初めて弟を追いぬくのは、父が弟よりも
１２０ｍ×２＝２４０ｍ
多く走ったときです。
２４０ｍ÷（１５０ｍ/分－７５ｍ/分）＝３.２分
その後、父が弟よりも１周多く走るごとに、弟を追いぬきます。
３６０ｍ÷（１５０ｍ/分－７５ｍ/分）＝４.８分
ですから、父が弟を３回追いぬくには
３.２分＋４.８分×（３回－１回）＝１２.８分
かかります。
答え １２分４８秒
（２）
３６０ｍ÷１５０ｍ/分＝２.４分＝１４４秒 … 父がジョギングコースを１周する時間
３６０ｍ÷９０ｍ/分＝４分＝２４０秒 … 兄がジョギングコースを１周する時間
３６０ｍ÷７５ｍ/分＝４.８分＝２８８秒 … 弟がジョギングコースを１周する時間
２×２×２×２×３×３×１×５×２＝１４４０ … １４４と２４０と２８８の最小公倍数
父、兄、弟がそれぞれ１周する時間の最小公倍数が
１４４０秒÷６０秒＝２４分
ですから、父がＰを、兄がＱを、弟がＲを初めて同時に通過するのは２４分後です。
答え ２４分後
（３）
兄が初めて弟を追いぬくのは、兄が弟よりも１２０ｍ多く走ったときです。
１２０ｍ÷（９０ｍ/分－７５ｍ/分）＝８分
その後、兄が弟よりも１周多く走るごとに、兄を追いぬきます。
３６０ｍ÷（９０ｍ/分－７５ｍ/分）＝２４分
よって、兄が弟を追いぬくのは（８＋２４×□）分後です。
また、（１）より、父が弟を追いぬくのは（３.２＋４.８×■）分後です。
初めて
８＋２４×□＝３.２＋４.８×■
となるのは、□＝０、■＝１のときです。
８＋２４×０＝３.２＋４.８×１＝８
８分後に父と兄が弟を同時に追いぬいて３人が初めて横並びになり、その後、父は弟を４.８分（＝２８８秒）ごとに、兄は弟を２４分（＝１４４０秒）ごとに、追いぬきます。
２×２×２×２×２×３×３×１×５＝１４４０ … １４４０と２８８の最小公倍数
１４４０秒÷６０秒＝２４分
ですから、父と兄が弟を同時に追いぬいて２回目に３人が横並びになるのは
８分＋２４分＝３２分後
です。
答え ３２分後
本問は、周回する旅人算の考え方を確認できる問題です。
また、（３）の「３人が横並びになる」を、「父が弟を追いぬく」と「兄が弟を追いぬく」のように、「３人」を２人ずつに分けることが考え方の基本です。
今回は、２０２６年度に男子中で出された「旅人算」の問題をご紹介しました。
もし、正解できない問題があれば、出会いやすれ違いの（２人の速さの和）×（時間）＝（２人の進む道のりの和）や、追い抜きや追い越しの（２人の速さの差）×（時間）＝（２人の進む道のりの差）という速さの３公式の利用、進行グラフ（ダイヤグラム）の読み取り、周回するときや３人についての旅人算の考え方などに分けて弱点を見つけ、練習問題に取り組みましょう。
