前田昌宏の中学受験が楽しくなる算数塾

「第７９０回　男子中の入試問題　数の性質２」

前回は２０２６年度の男子中の入試問題について、「数の性質」の中から「約数と倍数」の基本問題を中心に見ました。

今回は「約数と倍数」の応用問題を取り扱います。

１問目は、約数の問題です。

【問題】２０２６を整数１、２、３、……、２０２５、２０２６で割った余りを順番に並べます。割り切れたときには余りを０とします。並べた数について、次の問いに答えなさい。

０、０、１、２、１、……、１、０

（１）はじめから数えて１７５番目の数を求めなさい。

（２）最も大きい数を答えなさい。

（３）１は全部で何個ありますか。

（４）最初に３１が出てくるのは、はじめから数えて何番目ですか。

（立教新座中学校　２０２６年　第１回　問題４）

【考え方】

（１）

はじめから数えて１７５番目の数は、２０２６を１７５で割った余りです。

２０２６÷１７５＝１１あまり１０１

答え　１０１

（２）

２０２６、割る数、商、余りの関係は次のように表せます。

割る数＞余りですから、余りが最も大きくなるのは商が１のときです。

２０２６÷２＝１０１３

割る数は余りより大きく、余りが最も大きい場合なので

２０２６÷１０１４＝１あまり１０１２

のように、割る数１０１４、余り１０１２が条件にあてはまります。

答え　１０１２

（３）

２０２６－１＝２０２５

割る数は１より大きい２０２５の約数です。

２０２５＝１×２０２５、３×６７５、５×４０５、９×２２５、１５×１３５、２５×８１、２７×７５、４５×４５

なので、割る数が３、５、９、１５、２５、２７、４５、７５、８１、１３５、２２５、４０５、６７５、２０２５のとき、余りが１になります。

答え　１４個

※ ２０２５が３を４回、５を２回かけた数なので、約数の個数を（４＋１）×（２＋１）＝１５個のように求めることもできます。

（４）

（３）と同じように考えることができます。

２０２６－３１＝１９９５

１９９５＝１×１９９５、３×６６５、５×３９９、７×２８５、１５×１３３、１９×１０５、２１×９５、３５×５７

割る数は余りの３１より大きい数で、その中で最も小さい数は３５です。

答え　３５番目

※ １９９５＝３×５×７×１９なので、３１より大きく、３１に最も近い１９９５の約数が３５と考えることもできます。

本問は、「割る数」と「余り」がテーマの問題です。

正解できないようでしたら、（割られる数）＝（割る数）×（商）＋（余り）と（割る数）＞（余り）の関係を確認しましょう。

２問目は、倍数の問題です。

【問題】Ａ君は次の紙を拾いましたが、一部が塗りつぶされていて読めませんでした。

Ａ君はこの数をＮとして、次のように考えました。Ａ君の考えは正しいものとしたとき、［ア］、［イ］にあてはまる数を答えなさい。

（早稲田中学校　２０２６年　第１回　問題１－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

Ｎは３の倍数であって７の倍数ではないことがわかっています。

そこで、ベン図を利用して、３の倍数、５の倍数、１１の倍数について整理をします。

・②と③の答が「はい」になるとき、Ｎは３と５の公倍数です。

公倍数は最小公倍数の倍数なのでＮは１５の倍数です。

また、他の答えが「いいえ」という条件と

９９÷１５＝６あまり９

から、１５×１、１５×３、１５×５の３個があてはまります。　→　ア＝３

・②と⑤の答が「はい」になるとき、Ｎは３と１１の公倍数＝最小公倍数である３３の倍数ですから、３３×１、３３×２、３３×３の３個があります。

ここで、もし、質問①「２の倍数ですか？」の答えが「はい」であれば、条件にあてはまる数は３３×２＝６６の１個だけです。　→　イ＝６６

答え　ア　３、イ　６６

本問は、倍数の整理方法と表し方を確認できる問題です。

正解できないようでしたら、ベン図を使って整理できること、Ａの倍数＝Ａ×整数のように表せることを確認しましょう。

最後は、倍数と規則性の問題です。

【問題】１から２４までの整数が書かれたカードが１枚ずつあり、左から、１、２、３、…、２４と並べます。この並んでいるカードについて、次の２種類の作業を考えます。

作業Ａ：左はしから数えて奇数番目にあるカードをすべて取り除く。

作業Ｂ：左はしから数えて偶数番目にあるカードをすべて取り除く。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）作業Ａを４回くり返して残ったカードのうち、左はしにあるカードに書かれている整数を答えなさい。

（２）作業Ｂを４回くり返して残ったカードのうち、左はしから２番目にあるカードに書かれている整数を答えなさい。

（３）作業Ａ→作業Ｂ→作業Ａ→作業Ｂ→ …… とカードが１枚になるまで作業をくり返したとき、そのカードに書かれている整数を答えなさい。

（４）作業Ａを１回行った後、残っているカードから３枚を一度に取り出して書かれている整数を調べたところ、３の倍数であるものは２枚、４の倍数であるものは１枚、７の倍数であるものは１枚、８の倍数であるものは１枚でした。さらに、整数はすべて２けたでした。この３枚のカードに書かれている整数を小さい順に答えなさい。

次に、１から２００までの整数が書かれたカードを１枚ずつ用意し、左から、１、２、３、…、２００と並べます。

（５）作業Ａ→作業Ｂ→作業Ａ→作業Ｂ→ …… とカードが１枚になるまで作業をくり返したとき、そのカードに書かれている整数を答えなさい。

（攻玉社中学校　２０２６年　第１回　問題３）

【考え方】

（１）

書き出していくと、１回目の作業で２の倍数が残り、２回目の作業で４の倍数が残り、３回目の作業で８の倍数が残り、４回目の作業で１６の倍数が残ります。