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第764回 共学中の入試問題 数の性質 5
「第７６４回 共学中の入試問題 数の性質 ５」
これまで、近年に共学中の入試で出された「数の性質」の問題について考えています。
「数の性質」の最後となる今回は「数の性質の応用問題」を見ていきます。
１問目は、倍数と数作りの融合問題です。
【問題】１００から９９９までの３桁の整数について、次の条件になるような３桁の整数は何個あるか答えなさい。
（１） 各位の和が「３の倍数」
（２） 各位の積が「３桁の奇数」
（３） 各位の和が「３の倍数」、または各位の積が「３桁の奇数」
（広尾学園中学校 第１回 ２０２５年 問題２）
【考え方】
（１）
「各位の和が３の倍数」となる整数は、その数自身が３の倍数です。
９９÷３＝３３ → １以上９９以下の３の倍数の個数は３３個です。
９９９÷３＝３３３ → １以上９９９以下の３の倍数の個数は３３３個です。
３３３個－３３個＝３００個
答え ３００個
（２）
「各位の積が奇数」となる整数は、その数の各位の数が奇数です。
ですから、「各位の積が３桁の奇数になる」ような３つの数の組は、（３、５、７）、（３、５、９）、（３、７、７）、（３、７、９）、（３、９、９）の５組と３つの奇数がどれも５以上の組です。
（３、５、７）… ３通り×２通り×１通り → ６個
（３、５、９）… ３通り×２通り×１通り → ６個
（３、７、７）… ３個
（３、７、９）… ３通り×２通り×１通り → ６個
（３、９、９）… ３個
各位の数が５以上の奇数の場合 … ３通り×３通り×３通り → ２７個
６個×３＋３個×２＋２７個＝５１個
答え ５１個
（３）
「各位の和が３の倍数、または、各位の積が３桁の奇数」となる部分（赤色部分）は、（１）で求めた「各位の和が３の倍数」となる整数と（２）で求めた「各位の積が３桁の奇数」となる整数の合計から、重なる部分（水色部分）を引くと求められます。
（２）で見つけた組のうち、３の倍数になる組＝３つの数の和が３の倍数である組は（３、５、７）、（３、９、９）、（５、５、５）、（５、７、９）、（７、７、７）、（９、９、９）の６組です。
（３、５、７）… ３通り×２通り×１通り → ６個
（３、９、９）… ３個
（５、５、５）… １個
（５、７、９）… ３通り×２通り×１通り → ６個
（７、７、７）… １個
（９、９、９）… １個
６個×２＋３個＋１個×３＝１８個 … 水色部分
３００個＋５１個－１８個＝３３３個
答え ３３３個
本問は、３の倍数や奇数の特徴と作ることができる数の個数の応用問題です。
正解できないようでしたら、「倍数判定法」と呼ばれる倍数の見つけ方の問題や場合の数の考え方を利用した「作れる数の個数」の問題で基本を復習します。
２問目は、十進法と規則性の融合問題です。
【問題】０、１、２、…、９のいずれかの数字がかかれた白いカードと黒いカードがたくさんある。これらのカードを、下の図のように黒い０のカードから順に置いていく。
（１） 初めて置かれる黒い７のカードは何番目ですか。
（２） カードが （黒１）（白８）（白２）（黒８） の順に初めて並んだとき、この黒い１のカードは何番目ですか。
（３） カードが（白８）（白８）（黒８）（白９） の順に初めて並んだところで、次のカードを置くのをやめた。このとき並んでいる全てのカードのうち、黒いカードにかかれた数字の合計を求めなさい。
（慶應義塾湘南藤沢中等部 ２０２５年 問題５ 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
黒いカードの「番目」の数は、３で割ると１余る数です。
また、並んでいるカードにかかれた数字は、１から始まる整数の各位の数を１桁の整数にばらしたものです。
初めて出てくる「７」は、１桁の整数の８番目の「７」です。
８番目÷３＝２あまり２ → 白いカード
２番目に出てくる「７」は、２桁の整数「１７」の「７」ですから、
１桁×１０個＋２桁×８個＝２６番目
の数字です。
２６番目÷３＝８あまり２ → 白いカード
３番目に出てくる「７」は、２桁の整数「２７」の「７」ですから、
１桁×１０個＋２桁×１８個＝４６番目
の数字です。
４６番目÷３＝１５あまり１ → 黒いカード
答え ４６番目
（２）
数字が「１ ８ ２ ８」の順に初めて並ぶのは、８０台の２桁の整数 ８１、８２、８３ をばらしたときです。
「８１」の「１」は
１桁×１０個＋２桁×７２個＝１５４番目
の数字です。
１５４番目÷３＝５１あまり１
より、「１」は黒いカードですから、条件にあてはまります。
答え １５４番目
（３）
数字が「８ ８ ８ ９」の順に初めて並ぶのは、８０台の２桁の整数 ８８、８９ をばらしたときです。
（２）より、８０台の２桁の整数をばらすと、次のようになり（白８）（白８）（黒８）（白９）という条件にあてはまります。
１桁の整数「０」から「９」のうち、黒いカードは０、３、６、９の４枚です。
０＋３＋６＋９＝１８
１０以上１９以下の整数をばらすと数字が２０個並び、２０以上２９以下の整数をばらすと数字が２０個並び、３０以上３９以下の整数をばらすと数字が２０個並び、… のように、２桁の整数を１０から１０刻みに区切ってばらすと数字が２０個ずつ並びますから、２０個と３個の最小公倍数である６０個を１セットとして書き出します。
元の整数の十の位の数のうち黒いカードになる数字（赤色）の和は
３＋８＋９＝２０
元の整数の一の位の数のうち黒いカードになる数字（青色）の和は
１５＋１２＋１８＝４５
です
４０台～６０台の組にある十の位の数は、１０～３０台の組にある十の位の数よりそれぞれ３大きいですから、その和は
２０＋３×１０個＝５０
で、一の位の数は１０～３０台の組と同じ４５です。
７０台と８０台の組にある十の位の数は、１０台と２０台の十の位の数よりそれぞれ６大きいですから、その和は
（３＋６×３個）＋（８＋６×４個）＝５３
で、一の位の数の和は、１０台と２０台の一の位の数の和と同じ
１５＋１２＝２７
です。
１８＋（２０＋４５）＋（５０＋４５）＋（５３＋２７）＝２５８
答え ２５８
本問は、十進法で表された数を位ごとに分ける「桁ばらし」と呼ばれる問題と数の規則性が組み合わさった応用問題です。
正解できないようでしたら、「桁ばらし」だけ、「数の規則性」だけの問題で解き方を確認しましょう。
３問目は、約数と数の規則性の融合問題です。
【問題】次の図のようなマスに駒を置いて、次の〈ルール〉にしたがって駒を動かしていきます。
〈ルール〉
① 駒が置かれたマスに書かれている数字の約数の個数が奇数個のときは１つ右のマスへ駒を動かす。
② 駒が置かれたマスに書かれている数字の約数の個数が偶数個のときは２つ右のマスへ駒を動かす。
例えば、初めに駒が１２のマスに置かれたとき、駒は
１２のマス → １４のマス → １６のマス → １７のマス → …
と動きます。
初めに１のマスに駒を置いて動かしたとき、次の問いに答えなさい。
（１） １から２０のマスのうち、駒が置かれたマスは何マスか求めなさい。
（２） 駒が１００回目に置かれたマスに書かれている数字を求めなさい。ただし、初めに１のマスに駒を置いたときを１回目とします。
（３） １０１から２００のマスのうち、駒が置かれなかったマスに書かれている数字をすべてかけたとき、一の位から０が何個連続して並ぶか求めなさい。
（市川中学校 第１回 ２０２５年 問題５）
【考え方】
（１）
約数の個数が奇数個の整数は平方数です。
よって、駒は次のように動きます。
答え １２マス
（２）
平方数で区切って組を作ると、駒が置かれる回数は１組目は１回、２組目は２回、３組目は３回、４組目は４回、５組目は５回、… のように増えていきます。
よって、
１００＝１＋２＋３＋…＋１３＋９
より、１００回目に駒が置かれるマスは１４組目の９番目に駒が置かれるマスです。
１７０＋２×（９－１）＝１８６
答え １８６
（３）
一の位から連続する０の個数は、かけ算の式を素因数分解した形で表したときに含まれる「×２×５」の個数だけあります。
また、これまでに調べたことから駒の置かれない２の倍数の書かれたマスが５の倍数の書かれたマスよりも多くあるとわかります。
そこで、１０１から２００までについて（２）と同じように平方数（下の赤色の数字）で区切って組を作り、駒が置かれる５の倍数が書かれたマスを調べます。
よって、１０１以上２００以下のマスのうち、駒が置かれない５の倍数（「×５」を１個以上含む）が書かれたマスは、１１０、１２０、１２５、１３５、１５０、１６０、１７５、１８５、１９５、２００の１０マスです。
このうち、１２５、１５０、１７５、２００の４個は「×５」を２個含む２５（＝５×５）の倍数、さらに１２５は「×５」を３個含む１２５（＝５×５×５）の倍数ですから、一の位から連続する０の個数は
１０個＋４個＋１個＝１５個
です。
答え １５個
本問は、整数と約数の個数の関係、群の中にある数の個数が増える「増殖タイプの群数列」と「末尾の０」と呼ばれる問題が組み合わさった応用問題です。
正解できないようでしたら、整数と約数の個数の関係や素因数分解を利用して解く問題、表などの規則性を見つけるための整理方法を復習しましょう。
今回は、２０２５年度に共学中で出された「数の性質」の応用問題をご紹介しました。
いずれもやさしい問題ではありませんので、正解できない問題があるかもしれません。
ただ、使われる考え方や整理方法、解法はどれも重要なものですので、何が課題で正解できなかったかを見つけ、補強をするようにしましょう。
