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第720回 男子中の入試問題 立体図形 4
「第７２０回 男子中の入試問題 立体図形 ４」
ここまで、近年に男子中の入試で出された「立体図形」の問題について考えています。
今回は「立体図形の切断」の問題を取り扱います。
１問目は、「１回切断」の基本問題です。
【問題】図のような１辺の長さが６㎝の立方体があります。辺ＡＢ、ＤＣ、ＥＦ、ＨＧ上にそれぞれ点Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌをとります。ＡＩ：ＩＢ＝ＤＪ：ＪＣ＝４：５、ＥＫ：ＫＦ＝ＨＬ：ＬＧ＝２：１です。このとき、次の問いに答えなさい。
（１） この立方体を３点Ｉ、Ｋ、Ｌを通る平面で切ったとき、点Ａを含む立体Ｐの体積は何㎤ですか。
（２） 立体Ｐについて、辺ＥＫ、ＨＬ上にそれぞれＥＲ：ＲＫ＝ＨＳ：ＳＬ＝２：１となるように点Ｒ、Ｓをとります。このとき、５点Ｉ、Ｒ、Ｋ、Ｌ、Ｓを頂点とする立体の体積は何㎤ですか。
（３） 辺ＡＤ上にＡＭ：ＭＤ＝１：１となるような点Ｍをとります。立体Ｐを３点Ｍ、Ｈ、Ｌを通る平面で切ったとき、点Ａを含む立体の体積は何㎤ですか。
（本郷中学校 ２０２４年 問題５）
【考え方】
（１）
はじめに、切断のきまり「同じ面上の２点を結ぶ」に従って、点Ｉと点Ｋ、点Ｋと点Ｌを結びます。
次に、切断のきまり「平行に向かい合う面の切り口は平行」に従って、ＡＫと平行なＪＬ、ＫＬと平行なＩＪをかくと、立体Ｐが台形ＡＥＫＩを底面とする、高さ６㎝の四角柱とわかります。
ＡＩ＝６㎝×４/（４＋５）＝８/３㎝
ＥＫ＝６㎝×２/（２＋１）＝４㎝
（８/３㎝＋４㎝）×６㎝÷２×６㎝＝１２０㎤
答え １２０㎤
（２）
５点Ｉ、Ｒ、Ｋ、Ｌ、Ｓを頂点とする立体は、長方形ＲＫＬＳを底面とする、高さ６㎝の四角すいです。
四角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められます。
ＲＫ＝４㎝×１/（２＋１）＝４/３㎝
６㎝×４/３㎝×６㎝÷３＝１６㎤
答え １６㎤
（３）
面ＡＥＨＤが底面となるように立体Ｐを左に倒した図をかくと、作図がしやすいです。
はじめに、切断のきまり「同じ面上の２点を結ぶ」に従って、点Ｈと点Ｌ、点Ｈと点Ｍを結びます。
次に、「平行に向かい合う面の切り口は平行」に従って、ＨＬと平行なＭＮをかきます。
最後に、同じ面上にある点Ｌと点Ｎの２点を結びます。
求める立体は、立体Ｐから、三角形ＤＭＨ底面とする三角柱を平面で切断した「断頭三角柱ＤＭＨ-ＪＮＬ」を取り除いた立体です。
断頭三角柱の体積は（底面積）×（３つの高さの平均）で求められます。
１２０㎤－６㎝×３㎝÷２×（８/３㎝＋８/３㎝＋４㎝）/３＝９２㎤
答え ９２㎤
本問は、切断のきまりと断頭三角柱の考え方を確認できる問題です。
（３）は、解答例のように立体を倒しておくと、断頭三角柱を作図しやすいでしょう。
なお、（２）を（３）の誘導問題と考えると、次のように、立体Ｐを四角柱、（２）の四角すい、三角すいの３つの立体に分けて体積を求めることができます。
２問目は、「２回切断」を含む問題です。
【問題】下の図のような底面が直角二等辺三角形の三角柱があります。辺ＢＥ上の点ＰはＢＰ：ＰＥ＝１：３となる点で、点Ｑは辺ＣＦ上の点です。５点Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｑ、Ｐを頂点とする立体をＶとし、立体Ｖの体積が１５㎤であるとき、次の問いに答えなさい。
（１） 四角形ＥＦＱＰの面積を求めなさい。
（２） ＦＱの長さを求めなさい。
（３） 立体Ｖを３点Ａ、Ｅ、Ｆを通る平面で切断したときの切り口をＴとします。三角形ＡＥＦと切り口Ｔの面積の比を求めなさい。
（城北中学校 ２０２４年 問題４）
【考え方】
（１）
立体Ｖは、底面が台形ＥＦＱＰで、高さがＤＥの四角すいです。
四角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められますから、台形ＥＦＱＰの面積を□㎠とすると
□㎠×３㎝÷３＝１５㎤
□㎠＝１５㎤×３÷３㎝＝１５㎠
です。
答え １５㎠
（２）
台形ＥＦＱＰの下底ＰＥの長さは
８㎝×３/（１＋３）＝６㎝
です。
（ＦＱ＋６㎝）×３㎝÷２＝１５㎠
ＦＱ＝１５㎠×２÷３㎝－６㎝＝４㎝
答え ４㎝
（３）
点Ａと点Ｅは面ＡＤＥＢ上に、点Ａと点Ｆは面ＡＤＦＣ上にありますから、「同じ面上の２点を結ぶ」という切断のきまりに従うと、３点Ａ、Ｅ、Ｆを通る平面は三角形ＡＥＦとわかります。
立体Ｖの辺ＤＰと三角形ＡＥＦの辺ＡＥとの交点をＲ、立体Ｖの辺ＤＱと三角形ＡＥＦの辺ＡＦとの交点をＳとします。
「交わる面の辺の交点と交点を結ぶ」という２回切断のきまりに従って、交点Ｒと交点Ｓを結ぶと、切り口Ｔ（四角形ＥＦＳＲ）を作図できます。
（ア）から見た図の三角形ＡＤＲと三角形ＥＰＲは相似で、相似比は
ＡＤ：ＥＰ＝８㎝：６㎝＝４：３ … （ウ）
です。
また、（イ）から見た図の三角形ＡＤＳと三角形ＦＱＳも相似で、相似比は
ＡＤ：ＦＱ＝８㎝：４㎝＝２：１ … （エ）
です。
三角形ＡＥＦと三角形ＡＲＳは角Ａが共通な三角形で、（ウ）、（エ）より
ＡＥ：ＡＲ＝７：４
ＡＦ：ＡＳ＝３：２
ですから、面積比は
（７×３）：（４×２）＝２１：８
です。
よって、三角形ＡＥＦと切り口Ｔの面積の比は
２１：（２１－８）＝２１：１３
です。
答え ２１：１３
本問の（３）は、「交わる面の辺の交点と交点を結ぶ」という２回切断のきまりを確認できる問題です。
なお、（３）では、「１つの角が共通な三角形の面積比は、その角をはさむ２辺の積の比に等しい」という考え方を利用していますが、ＥとＳ（またはＦとＲ）を直線で結んで、高さが等しい三角形を作る解き方でも構いません。
今回は、２０２４年度に男子中の入試に出された「切断」の問題をご紹介しました。
切断の問題のポイントは、「切断のきまりに従って作図をする」ことにあります。
１問目は１回切断の作図、２問目は２回切断の作図を確認できますので、既習範囲であればチャレンジしてみましょう。
