Tweet
第745回 女子中の入試問題 平面図形 3
「第７４５回 女子中の入試問題 平面図形 ３」
これまで、２０２５年度に女子中の入試で出された「平面図形」の問題について考えています。
今回は「辺の比と面積比」の問題を取り扱います。
１問目は「面積の公式と比」の問題です。
【問題】下の図の三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣの面積は等しくなっています。台形ＡＢＣＤの面積が２２４㎠であるとき三角形ＰＡＤの面積は何㎠ですか。
（カリタス女子中学校 第２回 ２０２５年 問題１－⑩ 問題文一部変更）
【考え方】
三角形ＰＡＤの高さがわかれば理想的ですから、高さに関係のありそうな条件を探してみると、台形ＡＢＣＤの面積と上底、下底の長さがわかっていることを利用できそうだとわかります。
そこで、台形ＡＢＣＤの高さを□㎝とします。
（１２㎝＋１６㎝）×□㎝÷２＝２４４㎠ → □㎝＝２２４㎠×２÷２８㎝＝１６㎝
次に、三角形ＰＡＤの高さを☆㎝、三角形ＰＢＣの高さを★㎝とすると、
☆㎝＋★㎝＝１６㎝
ですから、☆㎝と★㎝の差または比がわかれば、☆や★の値を求められます。
そこで、三角形ＰＡＤと三角形ＰＢＣの面積が等しいという条件に着目すると、
１２㎝×☆㎝÷２＝１６㎝×★㎝÷２
６×☆＝８×★ → ☆：★＝４：３
であることがわかります。
よって、
☆㎝＝１６㎝×４/（４＋３）＝６４/７㎝
です。
１２㎝×６４/７㎝÷２＝３８４/７㎠＝５４ ６/７㎠
答え ５４ ６/７㎠
本問は、「面積の公式と比」の基本問題です。
解答例のように面積を求める式に表してもよいですし、次のような表に整理して解くこともできます。
ポイントは、面積を求める公式を「比」で利用することです。
また、「面積が等しいので、底辺の比と高さの比は逆比の関係」のように考えてもよいでしょう。
２問目は「高さの等しい三角形の面積比」の問題です。
【問題】図のような三角形ＡＢＣがあり、辺ＢＣ上に点Ｄ、辺ＣＡ上に点Ｅ、直線ＡＤ上に点Ｆがあります。ＢＤ：ＤＣ＝３：４、ＣＥ：ＥＡ＝２：５、ＡＦ：ＦＤ＝１：１で、三角形ＤＥＦの面積が２０㎠であるとき、三角形ＡＢＣの面積は何㎠ですか。
（国府台女子学院中学部 第１回 ２０２５年 問題４－（２） 問題文一部変更）
【考え方】
「等高三角形」や「区切り面積」ともいわれる問題です。
はじめに、三角形ＤＥＦはどのような手順で作図されるかを考えてみます。
この作図手順に従って考えることにします。
三角形ＡＢＣをＡＤで区切ってできる三角形ＡＤＣは、三角形ＡＢＣと高さが同じで、底辺の比が
ＢＣ：ＤＣ＝７：４
ですから、面積は三角形ＡＢＣの４/７倍です。
同様に、三角形ＡＤＥの面積が三角形ＡＤＣの面積の５/７倍、三角形ＤＥＦの面積が三角形ＡＤＥの面積の１/２倍であるとわかります。
よって、
（三角形ＡＢＣの面積）×４/７×５/７×１/２＝（三角形ＤＥＦの面積 ２０㎠）
と表せますから、三角形ＡＢＣの面積は
２０㎠÷１/２÷５/７÷４/７＝９８㎠
です。
答え ９８㎠
本問は、「高さの等しい三角形の面積比」の基本問題です。
なお、解答例とは逆順に、「三角形ＤＥＦの２倍が 三角形ＡＤＥなので４０㎠、三角形ＡＤＥの７/５倍が三角形ＡＤＣなので５６㎠、三角形ＡＤＣの７/４倍が三角形ＡＢＣなので９８㎠」のように求めることもできます。
３問目は「１組の角の大きさが等しい三角形の面積比」の問題です。
【問題】図のような長方形ＡＢＣＤがあります。辺ＡＢ、ＢＣ上にそれぞれ点Ｅ、Ｆがあり、ＥＦとＢＤが交わった点をＧとします。ＥＧ：ＧＦ＝３：４、三角形ＤＥＧと三角形ＢＦＧの面積の比が３：２であるとき、つぎの問いに答えなさい。
（１） ＢＧ：ＧＤを求めなさい。
（２） ＢＦ：ＦＣを求めなさい。
（３） 三角形ＢＦＧと長方形ＡＢＣＤの面積の比を求めなさい。
（山脇学園中学校 Ｃ ２０２５年 問題３）
【考え方】
（１）
三角形ＢＦＧと三角形ＤＥＧは１組の角の大きさが同じ（角ＢＧＦ＝角ＤＧＥ）ですから、その角をはさむ２辺の積の比と面積の比は同じです。
（ＦＧ×ＢＧ）：（ＥＧ×ＤＧ）＝（三角形ＢＦＧの面積）：（三角形ＤＥＧの面積）
（４×■）：（３×□）＝２：３
４×■×３＝３×□×２
■×２＝□ → ■：□＝ＢＧ：ＧＤ＝１：２
答え １：２
（２）
三角形ＢＥＧと三角形ＤＥＧは高さが等しい三角形なので、底辺の比と面積比は同じです。
底辺の比 ＢＧ：ＤＧ＝１：２ → 面積比 △ＢＥＧ：△ＤＥＧ＝１：２
また、三角形ＢＥＧと三角形ＢＦＧも高さが等しい三角形で、底辺の比が
ＥＧ：ＦＧ＝３：４
ですから、面積比も
△ＢＥＧ：△ＢＦＧ＝３：４
です。
連比にします。
三角形ＥＢＦと三角形ＥＢＤは底辺が共通な三角形ですから、面積比と高さの比は同じです。
面積比 △ＥＢＦ：△ＥＢＤ＝（３＋４）：（３＋６）＝７：９
↓
高さの比 ＢＦ：ＡＤ＝７：９
ＡＤ＝ＢＣですから、
ＢＦ：ＦＣ＝ＢＦ：（ＢＣ－ＢＦ）＝７：（９－７）＝７：２
です。
答え ７：２
（３）
三角形ＥＤＧと２点Ｄ、Ｆを結んでできる三角形ＦＤＧは高さが等しい三角形なので、面積比は底辺の比のＥＧ：ＧＦと同じ３：４です。
三角形ＥＤＧの面積は（２）で６としましたから、三角形ＦＤＧの面積を★とすると、
６：★＝３：４ → ★＝６×４÷３＝８
となり、三角形ＤＢＦの面積は
８＋４＝１２
となります。
さらに、三角形ＤＢＦと三角形ＤＣＦも高さが等しい三角形で、底辺の比が
ＢＦ：ＦＣ＝７：２
ですから、三角形ＤＣＦの面積を☆とすると、
１２：☆＝７：２ → ☆＝１２×２÷７＝２４/７
となります。
長方形ＡＢＣＤの面積は三角形ＤＢＦと三角形ＤＣＦの面積の和の２倍ですから、
（１２＋２４/７）×２＝２１６/７
です。
よって、三角形ＢＦＧと長方形ＡＢＣＤの面積の比は
４：２１６/７＝７：５４
です。
答え ７：５４
本問は、１組の角の大きさが等しい三角形の面積比と高さの等しい三角形の面積比の考え方を確認できる問題です。
（１）では「１組の角の大きさが等しい三角形の面積比」の考え方を利用しましたが、下の図１のようにＤとＦを結んで三角形ＦＤＧの面積の４を求め、
■：□＝（面積２）：（面積４）＝１：２
のように、「高さの等しい三角形の面積比」を使って解くこともできます。
※ △ＢＥＧ＝△ＢＦＧ×３/４＝１.５ を利用することもできます。
また、（３）も図２のようにＧとＣを結んで三角形ＣＦＧの面積を求め、
★＝（４＋８/７）×２＝７２/７
から長方形ＡＢＣＤの面積を求める考え方もあります。
今回は、２０２５年度に女子中の入試で出された「辺の比と面積比」の中から、「面積の公式と比」、「高さの等しい三角形の面積比」、「１組の角の大きさが等しい三角形の面積比」の問題をご紹介しました。
これらは、次回ご紹介予定の「相似」と並んで、平面図形の問題を解くための大切な考え方です。
特に、２問目や３問目の「高さの等しい三角形の面積比」はよく利用されますので、もし、正解できない問題があれば、考え方や使い方をすぐに確認をしましょう。
