「第７８５回　共学中の入試問題　場合の数 １」

前回まで、近年に共学中の入試で出された「立体図形」の問題について考えました。

今回からは「場合の数」の問題を見ていきます。

１回目となる今回は「数字や文字を並べる一行問題」を取り扱います。

１問目は「カード並べ」の問題です。

【問題】１□、１□、２□、２□、３□、３□の数字がかかれた６枚のカードがあります。例のように、同じ数字のカードがとなり合わないように６枚のカードすべてを１列に並べます。同じ数字のかかれたカードを区別しないとき、このような並べ方は全部で何通りありますか。

例　１□　２□　３□　１□　２□　３□　

（筑波大学附属中学校　２０２５年　問題１－（６） 注：実物の入試問題では数字を□で囲んだ表記になっています。）

【考え方】

左端が １ □の場合を樹形図をかきます。

左端から １□ － ２□ となるようなカードの並べ方が５通りありますから、左から １□ － ３□ となるようなカードの並べ方も５通りあるとわかります。

５通り×２＝１０通り…　左端が １□ の場合

同じように、左端が ２□ の場合も１０通り、３□ の場合も１０通りありますから、全部で

１０通り×３＝３０通り

あります。

答え　３０通り

本問は、樹形図と計算を利用する問題です。

もし、樹形図をすべてかいているようでしたら、同じ形の樹形図ができる（＝場合の数が同じ）ときに「かけ算」が利用できることを確認しましょう。

２問目は「条件のある数作り」の問題です。

【問題】次の［　］にあてはまる数を答えなさい。

大小２つのサイコロをふって、大きいサイコロの目を十の位、小さいサイコロの目を一の位とする。この２けたの数が３の倍数になるのは［　］通りである。

（慶應義塾湘南藤沢中等部　２０２５年　問題１－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

「３の倍数」という条件を満たすように樹形図をかきます。

２通り×６＝１２通り

答え　１２

本問も、樹形図を利用できる問題です。

解答例の他に、１２、１５、２１、…、６６ のように、２桁の３の倍数を書き並べ、その個数を求めてもかまいません。

なお、３の倍数は各位の数の和も３の倍数となることを利用すると、次のように考えることもできます。

３問目は「０を含む数作り」の問題です。

【問題】次の［　］に適当な数を入れなさい。

０、２、５、７の４個の数字の中から、異なる３個の数字を選んで３けたの整数を作るとき、偶数は全部で［　］個つくることができます。

（慶應義塾中等部　２０２６年　問題１－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

「３けた」の「偶数」を作るときは、「偶数」という条件を先に考えます。

０、２、５、７の４つの数字から偶数を作るとき、一の位の数が０と一の位の数が２の２種類の偶数ができます。

はじめに、一の位の数が０の偶数について、百の位 → 十の位 の順にあてはまる数字を考えます。

次に、一の位の数が２の偶数について、百の位 → 十の位 の順にあてはまる数字を考えます。

よって、全部で

６個＋４個＝１０個

の偶数ができます。

答え　１０

本問は、「０」と「偶数」という２つの条件を含む問題です。

もし、正解できないようでしたら、先に「偶数」という条件を満たすような場合分けができることを確認しましょう。

４問目は「重複」の問題です。

【問題】Ｋ、Ａ、Ｉ、Ｃ、Ｈ、Ｉの６文字すべてを１列に並べてできる文字列は全部で何通りですか。

（開智日本橋学園中学校　２０２６年　第１回　問題２－（７））

【考え方】

次のように、ア～カの６つのマス目を用意し、２つあるＩ以外の４つの文字の入れ方を考えます。

Ｋはア～カのいずれかのマス目に入りますから６通り、ＡはＫの入っているマス目以外に入りますから５通り、ＣはＫとＡの入っているマス目以外に入りますから４通り、ＨはＫとＡとＣの入っているマス目以外に入りますから３通りの入れ方があります。

残った２つのマス目にはＩが自動的に入ることになります（＝空いているマス目しか選ぶことができない）ので、２つのＩの入れ方は１通りです。

６通り×５通り×４通り×３通り×１通り＝３６０通り

答え　３６０通り

本問は同じ文字が２つある（＝文字が重複している）ときの考え方を確認できる問題です。

もし、正解できないようでしたら、解答例のように、マス目を用意して解いてみましょう。

なお、解答例では「２つあるＩを後回し」にしていますが、次のように「Ｉの入るマス目を先に決める」解き方もあります。

６マスの中からＩを入れる２マスの選び方は

６通り×５通り÷２＝１５通り

です。

残った４マスにＫ、Ａ、Ｃ、Ｈを入れるので、その入れ方は

４通り×３通り×２通り×１通り＝２４通り

あります。

１５通り×２４通り＝３６０通り

５問目は、「０を含む」と「重複」が組み合わさった「数作り」の問題です。

【問題】５枚のカード ０□ 、１□ 、２□ 、２□ 、３□ があります。この中から３枚を取り出して３桁の整数を作るとき、全部で何通りの整数ができますか。

（早稲田実業学校中等部　２０２６年　問題１－（４）　注：実物の入試問題では数字を□で囲んだ表記になっています。）

【考え方】

２枚ある ２□ を必ず２枚とも取り出す場合とそれ以外に場合分けをします。

はじめに ２□ を必ず２枚とも取り出す場合を考えます。

残りの１枚が ０□ のときに作ることのできる３桁の整数は２２０、２０２の２通りです。

残りの１枚が １□ のときに作ることのできる３桁の整数は１２２、２１２、２２１の３通り、残りの１枚が ３□ のときに作ることのできる３桁の整数は３２２、２３２、２２３の３通りです。

２通り＋３通り×２＝８通り

次に、５枚のカードから ２□ を１枚除いた４枚のカードで３桁の整数を作る場合を考えます。

百の位のカードは ０ □以外の３通り、十の位は百の位のカード以外の３通り、一の位は百の位と十の位のカード以外の２通りです。

３通り×３通り×２通り＝１８通り

よって、全部で

８通り＋１８通り＝２６通り

の整数ができます。

答え　２６通り

本問は、「０」と「重複」の両方がある問題の考え方を確認できます。

重複についての場合分けを０についてよりも先にすること、重複が絶対に起きないように２枚ある ２ □うちの１枚を取り除くことがポイントになっています。

今回は、２０２５年度と２０２６年度に共学中で出された「数字や文字を並べる一行問題」をご紹介しました。

もし、場合の数が苦手なようでしたら、まずは上記のような問題を使って、樹形図をかく、同じ形の樹形図があるときはかけ算を利用する、数を作るとき着目する条件の順序を覚える＆かけ算が利用できることを確かめることから始めるとよいと思います。