「天」と言えば「河」 ～合言葉で解く平面図形 その2～
白粉花！
お元気ですか？
オシロイバナです。
「夕化粧」の別名があり、
英語でも「Four o’clock」の名があるとおり、
夕方に開花し、翌朝しぼむ一日花です。
写真は朝8時ころの撮影なので、すでにしぼみかかっています。
オシロイバナは江戸時代には日本に入ってきていたようで、
種子をつぶすとでてくる白い粉が、
当時使われていた「白粉（おしろい）」という化粧品に似ていたところからついた名前のようです。
当時の白粉には「鉛白」といって発色をよくするために鉛の化合物がふくまれていて、
病気の原因ともなっていたのですが、いまは鉛白の使用が禁止されています。
現代では、白粉といえば京都の舞子さんでしょうか…。
というわけで今回のテーマも「天といえば、河！ ～合言葉で解く算数～」です。
「合言葉って、『山といえば川』じゃないの？」
そう思っていたのですが、
由来を調べてみると元は「仮名手本忠臣蔵」で
討ち入りに参加できない「天河屋」のことを思い、
味方の合言葉を「天」、「河」としたのが、
いつしか「山」、「川」にかわってしまったようです。
それはさておき、平面図形には多くの合言葉があります。
『円問題の補助線とくれば、中心と結ぶ。』（半径をかく）
『差とくれば、つけたし』
『直角三角形とくれば、角に○、×、90°』
『斜線部分とくれば、まわりから引く』
『120°六角形とくれば、延長して正三角形を作る』
『45°があれば、直角二等辺三角形を探す、作る』（45°問題）
『30°直角三角形があれば、斜辺：最も短い辺＝2：1』（30°問題）
『正多角形とくれば、均等分割』
『四角形があれば、三角形に分割』
…など
これらの合言葉はなぜか、参考書にもほとんど書かれていません。
進学塾の授業中に、先生が教えているだけではないかと思います。
ですから、平面図形の単元を学習するときは
このような「合言葉」もノートに書きとれるといいですね。
【問題】
正六角形ABCDEFで、辺ABの真ん中の点をP、辺CDを1：2に分ける点をQとします。このとき、三角形PQDの面積と正六角形ABCDEFの面積の比を、最も簡単な整数の比で求めなさい。
この問題には2つの解き方があることが、本文中の条件からわかります。
「正六角形」という条件に着目すると
『正多角形とくれば、均等分割』、
「120°（正六角形の1つの内角）」という条件に着目すると
『120°六角形とくれば、延長して正三角形を作る』
の2つです。
まず、『正多角形とくれば、均等分割』の合言葉を用い、解いてみましょう。
正六角形は、図のように6つに正三角形に均等分割できます。
さらに右の図のように24等分することもできます。
すると、正三角形と問題の三角形PQDについて、
底辺の比 → 3：2
高さの比 → 2：3 とわかりますので、
面積の比 → 3×2÷2：2×3÷2＝1：1 となります。
正六角形は正三角形6個分ですから、答えは 1：6 です。
正多角形の均等分割が使えると、とても楽に問題を解くことができますね！
では、『120°六角形とくれば、延長して正三角形を作る』ではどうでしょう。
図のように正六角形の辺を延長して正三角形を作ります。
このとき、青い線の図形に着目します。
正六角形の1辺の長さを⑥とします。
正三角形BRC、三角形PRQ、三角形PRQは角Rが共通ですから「隣辺比」が利用できるので、
正三角形BRCの面積：三角形PRQの面積：三角形PRDの面積＝⑥×⑥：⑨×⑧：⑨×⑫＝1：2：3 です。
ですから、
三角形PQDの面積は、三角形PRD－三角形PRQ＝3－2＝1 となり、
正三角形BRCと同じ面積になります。
正六角形ABCDEFの面積は正三角形BRCの面積の6倍ですから、やはり答えは 1：6 です。
このように合言葉が使えるようになると
定番の問題はもちろん、
ちょっとした応用問題でも解くことができます。
図形が苦手なんだけど…というお子さんがいましたら、
一度「合言葉で解く平面図形」を試してみませんか？
お元気ですか？
オシロイバナです。
「夕化粧」の別名があり、
英語でも「Four o’clock」の名があるとおり、
夕方に開花し、翌朝しぼむ一日花です。
写真は朝8時ころの撮影なので、すでにしぼみかかっています。
オシロイバナは江戸時代には日本に入ってきていたようで、
種子をつぶすとでてくる白い粉が、
当時使われていた「白粉（おしろい）」という化粧品に似ていたところからついた名前のようです。
当時の白粉には「鉛白」といって発色をよくするために鉛の化合物がふくまれていて、
病気の原因ともなっていたのですが、いまは鉛白の使用が禁止されています。
現代では、白粉といえば京都の舞子さんでしょうか…。
というわけで今回のテーマも「天といえば、河！ ～合言葉で解く算数～」です。
「合言葉って、『山といえば川』じゃないの？」
そう思っていたのですが、
由来を調べてみると元は「仮名手本忠臣蔵」で
討ち入りに参加できない「天河屋」のことを思い、
味方の合言葉を「天」、「河」としたのが、
いつしか「山」、「川」にかわってしまったようです。
それはさておき、平面図形には多くの合言葉があります。
『円問題の補助線とくれば、中心と結ぶ。』（半径をかく）
『差とくれば、つけたし』
『直角三角形とくれば、角に○、×、90°』
『斜線部分とくれば、まわりから引く』
『120°六角形とくれば、延長して正三角形を作る』
『45°があれば、直角二等辺三角形を探す、作る』（45°問題）
『30°直角三角形があれば、斜辺：最も短い辺＝2：1』（30°問題）
『正多角形とくれば、均等分割』
『四角形があれば、三角形に分割』
…など
これらの合言葉はなぜか、参考書にもほとんど書かれていません。
進学塾の授業中に、先生が教えているだけではないかと思います。
ですから、平面図形の単元を学習するときは
このような「合言葉」もノートに書きとれるといいですね。
【問題】
正六角形ABCDEFで、辺ABの真ん中の点をP、辺CDを1：2に分ける点をQとします。このとき、三角形PQDの面積と正六角形ABCDEFの面積の比を、最も簡単な整数の比で求めなさい。
この問題には2つの解き方があることが、本文中の条件からわかります。
「正六角形」という条件に着目すると
『正多角形とくれば、均等分割』、
「120°（正六角形の1つの内角）」という条件に着目すると
『120°六角形とくれば、延長して正三角形を作る』
の2つです。
まず、『正多角形とくれば、均等分割』の合言葉を用い、解いてみましょう。
正六角形は、図のように6つに正三角形に均等分割できます。
さらに右の図のように24等分することもできます。
すると、正三角形と問題の三角形PQDについて、
底辺の比 → 3：2
高さの比 → 2：3 とわかりますので、
面積の比 → 3×2÷2：2×3÷2＝1：1 となります。
正六角形は正三角形6個分ですから、答えは 1：6 です。
正多角形の均等分割が使えると、とても楽に問題を解くことができますね！
では、『120°六角形とくれば、延長して正三角形を作る』ではどうでしょう。
図のように正六角形の辺を延長して正三角形を作ります。
このとき、青い線の図形に着目します。
正六角形の1辺の長さを⑥とします。
正三角形BRC、三角形PRQ、三角形PRQは角Rが共通ですから「隣辺比」が利用できるので、
正三角形BRCの面積：三角形PRQの面積：三角形PRDの面積＝⑥×⑥：⑨×⑧：⑨×⑫＝1：2：3 です。
ですから、
三角形PQDの面積は、三角形PRD－三角形PRQ＝3－2＝1 となり、
正三角形BRCと同じ面積になります。
正六角形ABCDEFの面積は正三角形BRCの面積の6倍ですから、やはり答えは 1：6 です。
このように合言葉が使えるようになると
定番の問題はもちろん、
ちょっとした応用問題でも解くことができます。
図形が苦手なんだけど…というお子さんがいましたら、
一度「合言葉で解く平面図形」を試してみませんか？
