「第６１１回　共学中の入試問題　比と割合 ６」

ここまで、２０２２年度の共学中入試で出された「比と割合」から、「比と割合の一行問題」、「食塩水の濃さ」、「売買算」について考えました。

今回は「仕事算」の問題を取り上げます。

１問目は、「名前のある仕事算」の基本問題です。

【問題】ある仕事をするのにＡさんは１５時間、Ｂさんは１２時間かかります。

①　この仕事をはじめから最後まで２人で行うと何時間何分かかりますか。

②　この仕事を最初にＡさんだけで３時間行い、残りの仕事は２人で行いました。２人で仕事をしたのは何時間何分ですか。

（神奈川大学附属中学校　２０２２年　問題２－（３））

【考え方】

①

「名前のある仕事算」は、全体の仕事量を１または時間の最小公倍数に仮定することが基本の解き方です。

今回は、最小公倍数を利用した解き方をご紹介します。

１５時間と１２時間の最小公倍数の６０○を全体の仕事量とします。

６０○÷１５時間＝④/時間　…　Ａさんの１時間の仕事量

６０○÷１２時間＝⑤/時間　…　Ｂさんの１時間の仕事量

６０○÷（④/時間＋⑤/時間）＝２０/３時間

答え　６時間４０分

②

仕事を前半と後半に分けていますので、線分図を利用すると条件がわかりやすくなります。

６０○－④/時間×３時間＝㊽　…　Ａさんが３時間行った後の残りの仕事量

㊽÷（④/時間＋⑤/時間）＝１６/３時間

答え　５時間２０分

本問は、「名前のある仕事算」の基本の解き方が確認できる問題です。

仕事算が苦手な場合はこのレベルで理解度のチェックをしてみましょう。

２問目です。

【問題】プールを満水にするのに、給水管Ａでは４時間、給水管Ｂでは３時間かかります。また、排水管Ｃを使うと６時間で満水のプールの水をすべて排水できます。いま、空のプールに給水管Ａ、Ｂを使って水を入れ、同時に排水管Ｃで水を出したとき、プールを満水にするのにかかる時間は何時間何分ですか。

（青山学院横浜英和中学校　２０２２年　問題１－（６）　問題文一部変更）

【考え方】

「名前のある仕事算」に「邪魔が入る」パターンですが、解き方は１問目と変わりません。

満水時のプールの水の量を、４時間、３時間、６時間の最小公倍数⑫と仮定します。

⑫÷４時間＝③/時間　…　給水管Ａが１時間に入れる水の量

⑫÷３時間＝④/時間　…　給水管Ｂが１時間に入れる水の量

⑫÷６時間＝②/時間　…　排水管Ｃが１時間に出す水の量

③/時間＋④/時間－②/時間＝⑤/時間　…　Ａ、Ｂ、Ｃを同時に使ったときに１時間に入る水の量

⑫÷⑤/時間＝１２/５時間

答え　２時間２４分

本問は、「水を入れる」とその反対の「水を出す」が同時に起きる場合の考え方が確認できる問題です。

間違えたときは、「たす」、「ひく」が正しく使えているかをチャックしましょう。

続けて、３問目を見ていきます。

【問題】ある仕事を終わらせるのに、兄だけでは１８日、弟だけでは２４日、妹だけでは２７日かかります。この仕事を兄、弟、妹の３人で同時に始めたところ、妹が何日間か休んだため、終わらせるのに８日かかりました。妹は何日間休みましたか。

（青陵中学校　２０２２年　問題２－（６）　問題文一部変更）

【考え方】

「名前のある仕事算」で「休み」があるパターンです。

「休み」がある仕事算は、面積図を利用すると考えやすいです。

全体の仕事量を日数の最小公倍数２１６○とすると、次のような面積図に表せます。

２１６○÷１８日＝⑫/日　…　兄が１日にする仕事量

２１６○÷２４日＝⑨/日　…　弟が１日にする仕事量

２１６○÷２７日＝⑧/日　…　妹が１日にする仕事量

２１６○－（⑫/日＋⑨/日）×８日＝㊽　…　妹がした仕事量

㊽÷⑧/日＝６日　…　妹が仕事をした日数

８日－６日＝２日間

答え　２日間

（別解）…　つるかめ算の利用

「休み」のある問題は、「もし休まなければ」と仮定して解くこともできます。

（⑫/日＋⑨/日＋⑧/日）×８日－２１６○＝⑯　…　★

⑯÷⑧/日＝２日間

本問は、「名前のある仕事算」の「休み」がある問題の基本の解き方が確認できる問題です。

正解できなかったときは、面積図をかいて考えてみましょう。

では、４問目です。

【問題】ある仕事を、ＡとＢとＣの３人で行うとちょうど２５日で終わり、ＡとＢの２人で行うとちょうど４０日で終わります。この仕事を、１日目はＡとＣ、２日目はＢとＣ、３日目はＡとＣ、４日目はＢとＣ、…というように、Ｃは毎日、ＡとＢは１日ずつ交互に行うと、何日目の途中で仕事が終わりますか。

（明治大学付属明治中学校　２０２２年　問題１－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

「名前のある仕事算」で「繰り返し」のあるパターンです。

「繰り返し」の問題は１周期を調べることが、解き方の基本です。

全体の仕事量を２５日と４０日の最小公倍数２００○とします。

２００○÷２５日＝⑧/日　…　ＡとＢとＣが１日にする仕事量

２００○÷４０日＝⑤/日　…　ＡとＢが１日にする仕事量

⑧/日－⑤/日＝③/日　…　Ｃが１日にする仕事量

仕事は「ＡとＣは１日」、「ＢとＣが１日」を繰り返しますから、１周期は２日間です。

２００○÷⑪/周期＝１８周期あまり②

Ｃが１日にする仕事量は③ですから、あまりの②は周期の１日目にし終えます。

２日×１８周期＋１日＝３７日

答え　３７日目

本問は「繰り返し」がある仕事算の基本が確認できる問題です。

「全体の仕事量を１」とする解き方で間違えるようでしたら、最小公倍数を用いた解法を試してみましょう。

最後に「名前のない仕事算」を１問見ておきます。

【問題】７人で毎日働いて２４日かかる仕事があります。はじめの６日間は７人で行い、残りを２人増やして行うと、７人で毎日働くより何日早く終わりますか。

（明治大学付属中野八王子中学校　２０２２年　問題２－（３））

【考え方】

「名前のない仕事算」は、１人が１日にする仕事量（単位あたりの仕事量）を１と仮定することが基本の解き方です。

本問は仕事を前半と後半に分けていますので、１問目と同じように線分図で整理します。

１×７人×２４日＝１６８　…　全体の仕事量

１×７人×６日＝４２

１６８－４２＝１２６　…　残りの仕事量

１２６÷（１×９人）＝１４日

２４日－（６日＋１４日）＝４日

答え　４日

（別解）…比の利用

働く人数　７人：９人＝７：９

↓

かかる日数　⑨：⑦

⑨＝２４日－６日

①＝２日

⑨－⑦＝４日

本問は、「名前のない仕事算」の基本が確認できる問題です。

仕事算は名前のあるなしで解き方を使い分けると解きやすくなりますので、仕事算が苦手な場合はこの点をチェックしてみましょう。

今回は、２０２２年度に共学中入試で出された「仕事算」について考えました。

次回は「仕事算」の応用となる「ニュートン算」を取り扱う予定です。