「第７７９回　共学中の入試問題　立体図形 １」

前回まで、近年に共学中の入試で出された「平面図形」の問題を見てきました。

今回からは「立体図形」について考えていきます。

その１回目は「求積」の問題を取り扱います。

１問目は展開図の問題です。

【問題】次の［　］にあてはまる数を求めなさい。

右の展開図を組み立ててできる立体の体積は［　］㎤です。

（中央大学附属横浜中学校　第１回　２０２５年　問題１－（６）　問題文一部変更）

【考え方】

展開図を組み立てたときにくっつく辺を考えると、

□㎝＝１２㎝－４㎝×２＝４㎝

■㎝＝９㎝－３㎝＝６㎝

とわかります。

９㎝×４㎝＋（６㎝＋３㎝）×４㎝÷２＋３㎝×４㎝＝６６㎠　…　七角形の面積

組み立てたててできる立体は七角形を底面とする、高さ９㎝の七角柱です。

角柱の体積は（底面積）×（高さ）で求められます。

６６㎠×９㎝＝５９４㎤

です。

答え　５９４㎤

本問は、展開図の読み取りを確認できる基本問題です。

正解できないようでしたら、見取り図をかいてみましょう。

２問目も展開図の問題です。

【問題】下の図のような正方形の紙があり、この紙の四隅から、１辺の長さが５㎝の正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ったところ、容積が７２０㎤になりました。もとの正方形の紙の１辺の長さを求めなさい。ただし、紙の厚さは考えないものとします。

（広尾学園中学校　第１回　２０２５年　問題１－（６）　問題文一部変更）

【考え方】

紙を折ると、１辺の長さが□㎝の正方形を底面とする、高さ５㎝の直方体の容器になります。

□㎝×□㎝×５㎝＝７２０㎤　→　□㎝×□㎝＝７２０㎤÷５㎝＝１４４㎠

１４４㎠＝１２㎝×１２㎝ ですから、□㎝＝１２㎝です。

５㎝＋１２㎝＋５㎝＝２２㎝

答え　２２㎝

本問は、正方形の面積から正方形の１辺の長さを求める問題です。

誤って □㎝＝１４４㎠÷２＝７２㎝ としないように、注意します。

３問目は円柱の問題です。

【問題】次の［　］をうめなさい。

半径５㎝、中心角が１２０度のおうぎ形を底面とする高さが９㎝の立体Ａと、半径１０㎝の円を底面とする高さが５㎝の立体Ｂがあります。立体Ａと立体Ｂの体積の比を最も簡単な整数で表すと、［　］：［　］です。円周率は３.１４として計算してください。

（青山学院横浜英和中学校　Ａ日程　２０２５年　問題３－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

（底面積の比）×（高さの比）＝（柱体の体積の比）を利用できます。

答え　３：２０

本問は、柱体の体積の求め方を確認できる問題です。

解答例では、底面積の比と高さの比を別々に求めていますが、先に（底面積×高さ）の式を作ってから比を求めてもかまいません。

４問目は円すい台の問題です。

【問題】下の図は、ある立体を正面から見た図と、真上から見た図です。真上から見るとおうぎ形が２つ重なって見えます。この立体の体積を求めなさい。円周率は、３.１４とします。また、角すい・円すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められます。

（早稲田実業学校中等部　２０２６年　問題１－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

立体の見取り図をかくと、相似な関係にある円すい（大）から円すい（小）を取り除いてできる円すい台を４等分したものとわかります。

円すいの断面にある三角形ＯＡＢと三角形ＯＣＤは相似で、相似比が

ＡＢ：ＣＤ＝１２㎝：６㎝＝２：１

ですから、高さの比も

ＯＡ：ＯＣ＝２：１

です。

そこで、ＯＡ＝②㎝、ＯＣ＝①㎝とすると

②－①＝１２㎝　→　①＝１２㎝

より、ＯＡ＝２４㎝、ＯＣ＝１２㎝とわかります。

（１２㎝×１２㎝×３.１４×２４㎝÷３－６㎝×６㎝×３.１４×１２㎝÷３）÷４＝７９１.２８㎤

答え　７９１.２８㎤

本問は、円すい台に関する基本レベルの問題です。

断面である台形の辺を延長してできる相似な三角形を利用して、大小の円すいの辺の長さや高さを求められることを確かめましょう。

なお、解答例では、円すい（大）の体積と円すい（小）の体積を求めていますが、２つの円すいの体積比が

（２×２×２）：（１×１×１）＝８：１

であることを利用する解き方もあります。

最後は応用レベルの問題です。

【問題】図はある立体の展開図です。この立体の体積を求めなさい。

（東京農業大学第一高等学校中等部　第１回　２０２５年　問題３－（７））

【考え方】

紙で作った展開図を平らな床の上に置き、直角に着目しながら、立体を作ります。

見取り図から、作った立体が三角柱から三角すいを取り除いた立体（断頭三角柱）であるとわかります。

４㎝×３㎝÷２×１０㎝＝６０㎤　…　三角柱の体積

三角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められます。

４㎝×３㎝÷２×（１０㎝－６㎝）÷３＝８㎤　…　三角すいの体積

６０㎤－８㎤＝５２㎤

答え　５２㎤

本問は、展開図の組み立て方と図形式の利用を確認できる問題です。

また、本問のように角すいの体積の求め方が与えられない場合もありますので、正確に覚えておきましょう。

今回は、２０２５年度と２０２６年度に共学中で出された立体図形の「求積」についての問題をご紹介しました。

１問目から４問目までは基本レベルの問題です。

正解できないようでしたら、展開図の読み取り方、体積の求め方をチェックします。

５問目は展開図を正確にかけることがポイントとなっている問題です。

展開図から正しい見取り図をかけないときは、展開図の「直角」に着目しましょう。