第766回 共学中の入試問題 比と割合 2
「第７６６回 共学中の入試問題 比と割合 ２」
前回から、近年に共学中の入試で出された「比と割合」がテーマの問題を取り上げています。
今回は「売買算」と「倍数算」の応用問題を見ていきます。
１問目は売買算の問題です。
【問題】ある商品をＡ、Ｂの２つの店が同じ値段でそれぞれ１個ずつ仕入れました。Ａ店では仕入れた値段の２０％の利益を見込んで定価をつけ、Ｂ店では１０００円の利益を見込んで定価をつけました。ところが、両方の店で売れなかったので、Ａ店では定価より１５００円安く、Ｂ店では定価の５％引きで値段をつけ直したところ、両方の店で同じ売価となりました。この商品の仕入れ値はいくらですか。
（東京農業大学第一高等学校中等部 第１回 ２０２５年 問題３－（４））
【考え方】
答え ９８００円
本問は、原価から定価や売価を決める基本問題です。
分配のきまりが利用できることを確認しましょう。
２問目も売買算の問題です。
【問題】原価８００円の商品にいくらかの利益を見こんで定価をつけました。この商品を定価の２割引きで４４０個売ったときの利益は、定価の３割引きで９６０個売ったときの利益と同じになりました。この商品につけた定価はいくらですか。
（開智日本橋学園中学校 第１回 ２０２５年 問題２－（４））
【考え方】
（１個あたりの利益）×（売った個数）＝（総利益）ですから、総利益が等しいとき、１個あたりの利益の比と売った個数の比は逆比の関係です。
個数の比 ４４０個：９６０個＝１１：２４ → １個あたりの利益の比 ２４：１１
定価の２割引きで売ったときの１個あたりの利益を㉔円、定価の３割引きで売ったときの１個あたりの利益を⑪円として、条件を整理します。
答え １３００円
本問は、総利益と１個あたりの利益の関係、定価から値引きをした売価と利益の関係などを確認できる問題です。
正解できないようでしたら、解答例のような線分図をかいて考えてみましょう。
３問目は大問形式の倍数算です。
【問題】３種類の液体Ａ、Ｂ、Ｃがあり、これらを混ぜて液体を作ります。このとき、次の問いに答えなさい。
（１） Ａ、Ｂ、Ｃが１：３：７の割合で混ざっている液体に、Ａを７０ｇ入れたところ、Ａ、Ｂの割合が等しくなりました。最初の液体全体の重さを求めなさい。
（２） Ａ、Ｂ、Ｃが７：５：６で混ざっている液体に、Ａを２００ｇ加えたのち、Ｂを何ｇか加えたところ、Ａ、Ｂ、Ｃの割合が５：３：２になりました。加えたＢの重さを求めなさい。
（３） Ａ、Ｂ、Ｃが３：６：１で混ざっている液体１００ｇに、Ａ、Ｂ、Ｃがある割合で混ざっている液体Ｄを入れたら、Ａ、Ｂ、Ｃの割合が２１：１８：１１となりました。さらにＤをさきほどと同じ重さだけ入れたところ、Ａ、Ｂ、Ｃの割合は９：６：５となりました。Ｄに含まれるＡ、Ｂ、Ｃの割合を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（広尾学園中学校 第１回 ２０２５年 問題４）
【考え方】
（１）
条件を整理します。
Ｂの重さは変化しませんから、３と１の最小公倍数である③にそろえます。
①＋７０ｇ＝③ → ①＝７０ｇ÷（３－１）＝３５ｇ
３５ｇ×（１＋３＋７）＝３８５ｇ
答え ３８５ｇ
（２）
条件を整理します。
Ｃの重さは変化しませんから、６と２の最小公倍数である⑥にそろえます。
⑦＋２００ｇ＝⑮ → ①＝２００ｇ÷（１５－７）＝２５ｇ
⑤＋□ｇ＝⑨
□ｇ＝⑨－⑤＝④
２５ｇ×４＝１００ｇ
答え １００ｇ
（３）
条件を整理します。
Ａと合計の変化に着目します。
はじめのＡの重さが
１００ｇ×３/１０＝３０ｇ
なので、「中間」のＡと合計の関係は
（３０ｇ＋□ｇ）：（１００ｇ＋▲ｇ）＝２１：５０
と表せます。
（３０ｇ＋□ｇ）×５０＝（１００ｇ＋▲ｇ）×２１
１５００ｇ＋□ｇ×５０＝２１００ｇ＋▲ｇ×２１
□ｇ×５０－▲ｇ×２１＝６００ｇ …（ア）
また、「最後」のＡと合計の関係は
（３０ｇ＋□ｇ×２）：（１００ｇ＋▲ｇ×２）＝９：２０
と表せますから、
（３０ｇ＋□ｇ×２）×２０＝（１００ｇ＋▲ｇ×２）×９
６００ｇ＋□ｇ×４０＝９００ｇ＋▲ｇ×１８
□ｇ×４０－▲ｇ×１８＝３００ｇ
□ｇ×２０－▲ｇ×９＝１５０ｇ …（イ）
です。
消去算です。
（ア）を２倍、（イ）を５倍します。
□ｇ×１００－▲ｇ×４２＝１２００ｇ …（ア）×２
□ｇ×１００－▲ｇ×４５＝７５０ｇ …（イ）×５
よって、
▲ｇ×（４５－４２）＝１２００ｇ－７５０ｇ → ▲ｇ＝４５０ｇ÷３＝１５０ｇ
です。
これを（イ）に代入すると
□ｇ×２０－１５０ｇ×９＝１５０ｇ
□ｇ＝（１５０ｇ＋１３５０ｇ）÷２０＝７５ｇ
となります。
「中間」において
Ａ：Ｂ＝２１：１８
ですから、Ｂは
１０５ｇ×１８/２１＝９０ｇ
なので、
６０ｇ＋■ｇ＝９０ｇ → ■ｇ＝９０ｇ－６０ｇ＝３０ｇ
です。
よって、
７５ｇ＋３０ｇ＋◎ｇ＝１５０ｇ → ◎ｇ＝１５０ｇ－１０５ｇ＝４５ｇ
です。
以上から、Ｄに含まれるＡ、Ｂ、Ｃの割合は
□ｇ：■ｇ：◎ｇ＝７５ｇ：３０ｇ：４５ｇ＝５：２：３
とわかります。
答え ５：２：３
本問は、（１）、（２）が基本問題、（３）が倍数変化算の応用問題です。
（３）の解答例ではＡと合計に着目していますが、ＡとＢやＡとＣなどの変化に着目することもできます。
また、「濃さ（Ａ＝食塩の重さ、Ｄ＝食塩水の重さ）」の問題と考えて、天びん図を使って解く方法もあります。
今回は、２０２５年度に共学中で出された「売買算」と「倍数算」の応用問題をご紹介しました。
売買算の２問は分配のきまりや線分図を利用する点が少し難しいかもしれませんが、大切な解き方です。
３問目の（１）、（２）と合わせ、もしまちがえた問題があれば、条件の整理方法や計算方法などの見直しをしましょう。
