「第７７０回　共学中の入試問題　速さ ２」

前回から、近年に共学中の入試で出された「速さ」について考えています。

今回は「速さと比」の問題を取り扱います。

１問目は基本レベルの問題です。

【問題】次の［　］に適当な数を入れなさい。

兄と弟がそれぞれ池の周りを歩いて１周すると、兄は６分、弟は８分かかります。この池の周りを兄と弟が同じ向きに歩くと、兄が弟を追いこしてから、次に兄が弟を追いこすまでに［　］分かかります。

（慶應義塾中等部　２０２６年　問題２－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

道のりが同じ（＝池を１周する）とき、速さの比と時間の比は逆比の関係であることを利用できます。

時間の比　兄：弟＝６分：８分＝３：４

↓

速さの比　兄：弟＝４：３

ですから、兄の速さを④/分とすると、弟の速さは③/分、池の周りの道のりは

④/分×６分＝㉔（または③/分×８分＝㉔）

です。

池の周りを同じ向きに進むとき、兄は弟を追い越してから弟よりも１周多く歩くと、再び弟を追い越しますので、

（２人の速さの差）×（一度追い越してから再び弟を追い越すまでの時間）＝（池の周りの道のり）

です。

（④/分－③/分）×［　］分＝㉔　→　［　］＝２４÷１＝２４（分）

答え　２４

本問は、速さと比の関係を利用して解く旅人算です。

道のりが同じとき、速さの比と時間の比は逆比の関係であること、池の周りを同じ向きに進むとき、（２人の速さの差）×（一度追い越してから再び弟を追い越すまでの時間）＝（池の周りの道のり）の２点を確認しましょう。

なお、「池の周りの道のりを１」や「池の周りの道のりを時間（６分と８分）の最小公倍数である２４」のように仮定を利用する解き方もあります。

２問目も基本レベルの問題です。

【問題】次の［　］にあてはまる数を答えなさい。

あるマラソン大会があり、同じ時刻にスタートして、時速１０㎞で走り続けると１２時３０分、時速１５㎞で走り続けると１１時３０分にゴールします。このマラソン大会のコースは［　］㎞です。

（栄東中学校　Ａ日程　２０２５年　問題１－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

道のりが同じとき、速さの比と時間の比は逆比の関係です。

速さの比　１０㎞/時：１５㎞/時＝２：３

↓

時間の比　３：２

ですから、１０㎞/時で走ったときにかかる時間を③時間とすると、１５㎞/時で走ったときにかかる時間は②時間です。

差に着目します。

③時間－②時間＝１２：３０－１１：３０　→　①時間＝１時間

よって、時速１０㎞で走り続けると

１時間×３＝３時間

でゴールしますから、このコースの道のりは

１０㎞/時×３時間＝３０㎞

です。

答え　３０

本問は、時間の差に着目して解く問題です。

もし、正解できないようでしたら、グラフまたは線分図をかいて解けることを確認しましょう。

３問目は条件の整理がポイントになる問題です。

【問題】Ａ地点からＢ地点に徒歩で姉は４５分、妹は５１分かかります。妹がＡ地点を出発して４分後に姉がＡ地点を出発したとき、途中で妹を追い越して、妹より２分早くＢ地点に到着しました。妹がＢ地点に到着するのは、姉に追い越されてから何分後ですか。

（法政大学第二中学校　第一回　２０２５年　問題２－（５））

【考え方】

道のりが同じとき、速さの比と時間の比は逆比の関係です。

時間の比　姉：妹＝４５分：５１分＝１５：１７

↓

速さの比　姉：妹＝１７：１５

？分＝５１分－（４分＋３０分）＝１７分

答え　１７分後

本問も、速さと比の関係を利用して解く旅人算です。

解答例では求めた７６５○というＡＢ間の道のりを利用しませんでしたが、次のような使い方をして解くこともできます。

また、「妹より２分早くＢ地点に到着」という条件は、次のような「ダイヤグラム解法」で用いることができます。

最後も条件の整理がポイントになる問題です。

【問題】けんたさんは、毎日同じ時刻に家を出て、毎分５０ｍの速さで学校に通学しています。ある日、家を出て８分歩いた地点が工事中だったので、回り道をして、いつもの通学路のＡ地点に出ました。回り道をしなければ、Ａ地点を８時１７分に通るのに、この日は８時２０分にＡ地点に出ました。次の日、いつもと同じ時刻に家を出て、毎分７５ｍの速さで歩いて、昨日と同じ回り道をしたところ、８時１４分にＡ地点に出ました。回り道をしたときの、工事の地点からＡ地点までの道のりは何ｍですか。

（筑波大学附属中学校　２０２５年　問題１－（５））

【考え方】

「時間の条件が多い問題」ですから、「条件をグラフに整理する」という方針を立てます。

５０ｍ/分×８分＝４００ｍ　…　家から工事の地点までの道のり

※ 以下のように、家から工事の地点までの道のりは利用しませんので、求めなくても構いません。

道のりが同じとき、速さの比と時間の比は逆比の関係です。

速さの比　ある日：次の日＝５０ｍ/分：７５ｍ/分＝２：３

↓

時間の比　ある日：次の日＝３：２

差に着目します。

③分－②分＝８：２０－８：１４　→　①＝６分

６分×３＝１８分　…　ある日に家からＡ地点までにかかった時間

１８分－８分＝１０分　…　ある日に回り道にかかった時間

５０ｍ/分×１０分＝５００ｍ

答え　５００ｍ

本問は、条件整理がポイントとなっている問題です。

もし、正解できないようでしたら、問われていない「家から工事の地点まで」を除いて整理できることを確認しましょう。

今回は、「速さと比」の基本問題とそれを利用する問題をご紹介しました。

１、２問目は速さ、時間、道のりの関係を比で考える大切な基本問題です。

また、３、４問目は条件を整理すると解きやすい基本レベルの問題です。

ですから、もし、正解できないようでしたら、比の使い方や条件の整理方法を確認し、類題演習で考え方の定着を目指しましょう。