「第７７５回　共学中の入試問題　平面図形 ２」

前回から、近年に共学中の入試で出された「平面図形」の問題を取り扱い始めています。

２回目の今回は「平面図形の面積」がテーマの問題について考えていきます。

１問目は直線図形の問題です。

【問題】次の［　］に適当な数を入れなさい。

図のように、四角形ＡＢＣＤの辺ＢＣの上に点Ｐがあります。色のついた部分の面積が５４０㎠であるとき、辺ＢＰの長さは［　］㎝です。

（慶應義塾中等部　２０２６年　問題３－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

ＢＰは三角形ＡＢＰの辺で、ＢＰそのもののかＣＰの長さがわかればよいので、三角形ＡＢＰと三角形ＤＣＰについて考えることにします。

（３０㎝＋２０㎝）×４５㎝÷２－５４０㎠＝５８５㎠　…　三角形ＡＢＰと三角形ＤＣＰの面積の和（左下図）

この図はつるかめ算の面積図を半分にした図と考えることができます。（右下図）

（５８５㎠×２－２０㎝×４５㎝）÷（３０㎝－２０㎝）＝２７㎝

答え　２７

本問は、つるかめ算を利用する直線図形の面積問題です。

解答例の他に、面積の変化の割合を利用する解き方もあります。

２問目は特別な三角形の問題です。

【問題】下の図のような、三角形ＡＢＣと正方形ＡＣＤＥがあります。このとき、正方形ＡＣＤＥの面積を求めなさい。

（東邦大学付属東邦中学校　前期　２０２５年　問題２－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

「３０度」の利用方法を考えます。

左下図のようにＡＢと垂直に交わるＣＦを補助線として直角三角形ＢＣＦを作ります。

三角形ＢＣＦは３つの内角の大きさが３０度、６０度、９０度ですから、正三角形を半分に切ったものです。

従って、

ＣＦ＝ＢＣ÷２＝１.５㎝

です。

また、

角ＦＣＡ＝１０５度－６０度＝４５度

ですから、補助線ＣＦによってできる三角形ＦＣＡは３つの内角の大きさが４５度、４５度、９０度の直角二等辺三角形で、正方形ＡＣＤＥの面積はこの直角二等辺三角形ＦＣＡの面積の４倍です。（右下図）

１.５㎝×１.５㎝÷２＝１.１２５㎠　…　三角形ＦＣＡの面積

１.１２５㎠×４＝４.５㎠

答え　４.５㎠

本問は、隠れた「３０度、６０度の直角三角形」を見つけて利用する問題です。

「３０度」に着目することが問題を解く鍵になっています。

３問目は曲線図形の問題です。

【問題】次の［　］にあてはまる数を答えなさい。

下の図のように、半径の長さが等しい円を点Ｐ、Ｑ、Ｒで３つの円が１点で交わるように５つ並べたところ、それぞれの円の中心を結んでできた四角形ＡＢＣＤはＡＤとＢＣが平行な台形で、その面積は４８㎠でした。このとき、色がついた部分の面積の合計は［　］㎠になります。ただし、円周率は３.１４とします。

（栄東中学校　Ａ日程　２０２５年　問題１－（７）　問題文一部変更）

【考え方】

円の半径を□㎝とすると、５つの円は１辺の長さが□㎝のマス目にぴったり入ります。

台形ＡＢＣＤの面積を利用して、円の半径（□㎝）について考えます。

（□㎝×４＋□㎝×２）×□㎝÷２＝４８㎠

□㎝×６×□㎝÷２＝４８㎠

□㎝×□㎝＝４８㎠×２÷６＝１６㎠　→　□㎝＝４㎝　…　円の半径

問題図の色がついた部分（レンズ形）の面積は、２つの四分円（中心角の大きさが９０度のおうぎ形）から正方形を除いた面積として求めることができます。

４㎝×４㎝×３.１４×９０度/３６０度×２－４㎝×４㎝＝９.１２㎠　…　レンズ形１つ分の面積

９.１２㎠×４＝３６.４８㎠

答え　３６.４８㎠

本問は、レンズ形の面積の求め方を確認できる問題です。

台形ＡＢＣＤの高さと円の半径が等しいことを利用して解きましょう。

４問目も曲線図形の補助線を利用する問題です。

【問題】円周率は３.１４として解答してください。

（１） 下の図１のような半径８㎝、中心角が直角であるおうぎ形があり、点Ａ、Ｂはおうぎ形の曲線部分を３等分する点です。

① アの角の大きさを求めなさい。

② 色を付けた三角形の面積を求めなさい。

（２） 下の図２の円周上の点は円周を１２等分する点で、円の半径は８㎝です。色を付けた図形の面積を求めなさい。

（３） 下の図３の円周上の点は円周を１２等分する点で、円の半径は８㎝です。色を付けた図形の面積を求めなさい。

（三田国際学園中学校　第１回　２０２５年　問題３　問題文一部変更　※ 校名は出題時のものです。）

【考え方】

（１－①）

９０度÷３＝３０度

答え　３０度

（１－②）

下図のようにＯＡと垂直に交わるＢＨを補助線として３つの内角の大きさが３０度、６０度、９０度の三角形ＯＢＨを作ると、

ＢＨ＝ＯＢ÷２＝８㎝÷２＝４㎝

です。（左下図）

三角形ＯＡＢは、ＢＨを高さとするとＯＡが底辺ですから、面積は

８㎝×４㎝÷２＝１６㎠

です。（右下図）

答え　１６㎠

（２）

下の図４のように、円周上の点と円の中心を結ぶ半径を補助線として引くと、問題図の色を付けた図形は４つの二等辺三角形に分けられます。

図５の赤色の三角形は（１）の三角形と同じものですから、面積は１６㎠です。

図６の水色の三角形は底辺が８㎝、高さが４㎝ですから、面積は

８㎝×４㎝÷２＝１６㎠

です。

よって、図２の色がついた部分の面積は

１６㎠×４＝６４㎠

です。

答え　６４㎠

（３）

左下図のように、円周上の点と円の中心を結ぶ半径を補助線として引くと、問題図の色を付けた図形は６つの二等辺三角形と２つの直角二等辺三角形に分けられます。

右下図の赤色の三角形は（１）の三角形と同じものですから、面積は１６㎠です。

水色の三角形は等しい２辺の長さが８㎝ですから、面積は

８㎝×８㎝÷２＝３２㎠

です。

よって、図３の色がついた部分の面積は

１６㎠×６＋３２㎠×２＝１６０㎠

です。

答え　１６０㎠

本問は、円問題の補助線を確認できる問題です。

丁寧な誘導になっていますので、全問正解を目指しましょう。

今回は、２０２５年度と２０２６年度に共学中で出された「平面図形の面積」がテーマの問題をご紹介しました。

１問目はつるかめ算を利用する定番の問題です。

また、２問目の「３０度、６０度の直角三角形」を見つける問題、３問目の円の半径の求め方やレンズ形の面積の求め方、４問目の円問題の補助線の利用も大切な問題です。

既習範囲で正解できない問題があれば、知識、考え方、計算などに分けて課題を見つけ、早急に修正をしましょう。