「第７７４回　共学中の入試問題　平面図形 １」

前回まで、近年に共学中の入試で出された「速さ」の問題について見てきました。

今回からは「平面図形」の問題を取り扱います。

１回目の今回は「角の大きさ」がテーマの問題について考えます。

１問目は平行線と角の問題です。

【問題】次の［　］にあてはまる数を求めなさい。

図のように、平行な２直線と正六角形があります。角xの大きさは［　］度です。

（中央大学附属横浜中学校　第１回　２０２５年　問題１－（９）　問題文一部変更）

【考え方】

２本の平行線の間に「イナズマ」のような折れ線があるときは、線が折れ曲がる点を通る平行線を補助線とする解き方があります。（左下図）

補助線を引くと「平行線の錯角は等しい」ので、同じ印をつけた角の大きさは同じです。（右下図）

×＝９度

正六角形の１つの内角の大きさは１２０度です。

●＝１８０度－（１２０度－９度）＝６９度

○＝１２０度－６９度＝５１度

よって、ｘ＝５１度です。

答え　５１

本問は、平行線の同位角や錯角が等しいことを利用する問題です。

正六角形との組み合わせになってますが、「イナズマ」の部分だけを使って解けることを確認しましょう。

２問目は正多角形の問題です。

【問題】図の五角形ＡＢＣＤＥは正五角形です。辺ＣＤ、対角線ＡＤをそれぞれ一辺とする正六角形があります。角アの大きさを求めなさい。

（芝浦工業大学附属中学校　第１回　２０２５年　問題２－（４））

【考え方】

はじめに、「多角形の外角の大きさの和は３６０度」、「内角＝１８０度－外角」を利用します。

正五角形の１つの外角の大きさが

３６０度÷５＝７２度

１つの内角の大きさが

１８０度－７２度＝１０８度

なので、赤色の二等辺三角形の等しい角の大きさは

（１８０度－１０８度）÷２＝３６度

です。（左下図）

また、正六角形の１つの外角の大きさは

３６０度÷６＝６０度

１つの内角の大きさは

１８０度－６０度＝１２０度

です。（右下図）

次の図のように対角線ＡＣを引くと、ＡＤとＢＣが平行なので、三角形ＡＣＤは等しい２つの角の大きさが７２度の二等辺三角形です。

水色の四角形に着目します。

イ＝１２０度－７２度＝４８度

○＝１８０度－７２度×２＝３６度

ウ＝１２０度－○＝１２０度－３６度＝８４度

ですから、

エ＝３６０度－（１２０度＋イ＋ウ）＝１０８度

ア＝１８０度－エ＝７２度

です。

答え　７２度

本問は、正多角形の角の大きさを利用する問題です。

正多角形の１つの内角や外角の大きさの求め方と合わせ、正五角形の角の特徴を確認しましょう。

なお、次のように五角形（赤色部分）に着目する解き方もあります。

３問目は二等辺三角形と正三角形の問題です。

【問題】次の［　］に適当な数を入れなさい。

図のように、正方形と２つのおうぎ形を組み合わせました。角ｘの大きさは［　］°です。

（慶應義塾中等部　２０２６年　問題３－（１）　問題文一部変更）

【考え方】

はじめに、円周上の点と円の中心を結ぶ補助線（半径）を引きます。（図１）

ＥＢ＝ＢＣ＝ＣＥなので、三角形ＥＢＣは正三角形です。（図２）

ですから、角○の大きさは

９０度－６０度＝３０度

で、三角形ＢＥＡは ＢＥ＝ＢＡ である二等辺三角形ですから、角●の大きさは

（１８０度－３０度）÷２＝７５度

です。（図３）

最後に、直角三角形ＡＢＦに着目します。

x＝１８０度－（９０度＋７５度）＝１５度

答え　１５

本問は、二等辺三角形や正三角形を見つけて利用する問題です。

正方形の中にぴったり入る正三角形の見つけ方を確認しましょう。

４問目は大きさのわからない角の利用方法についての問題です。

【問題】次の［ア］、［イ］にあてはまる数を答えなさい。

下の図において、同じ印をつけた角の大きさがそれぞれ等しいとき、x は［ア］°で y は［イ］°である。

（慶應義塾湘南藤沢中等部　２０２５年　問題２－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

はじめに、直角三角形の３つの内角に着目します。

●●＋○○＋９０度＝１８０度　→　●＋○＝（１８０度－９０度）÷２＝４５度（左下図）

さらに、三角形の内角に着目すると

ｘ＋●＋○＝１８０度

ですから、

x＝１８０度－４５度＝１３５度

です。（右下図）

次に、赤色の三角形の外角に着目します。

△△－●●＝６６度　→　△－●＝６６度÷２＝３３度（左下図）

水色の三角形の外角に着目すると

△－●＝▲

ですから、▲＝３３度です。（右下図）

yは紫色の三角形の外角です。

■＝１８０度－１３５度＝４５度

y＝４５度＋３３度＝７８度

答え　ア　１３５、　イ　７８

本問は、大きさのわからない角や三角形の外角のきまりを利用する問題です。

ひとつひとつの角の大きさがわからなくても、和や差が利用できることを確認しましょう。

５問目は特徴のある四角形の問題です。

【問題】図の角xの大きさは何度ですか。

（中央大学附属中学校　第１回　２０２５年　問題１－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

図１の１４０度の角、７９度の角、角ｙの３つの角は赤色の三角形の外角ですから、その和は３６０度です。

１４０度＋７９度＋ｙ＝３６０度　→　ｙ＝３６０度－２１９度＝１４１度

図２の水色部分は「ブーメラン形四角形」なので、角ｘ、３５度の角、３６度の角の３つの角の和は１４１度です。

ｘ＋３５度＋３６度＝１４１度　→　ｘ＝１４１度－７１度＝７０度

答え　７０度

本問は、多角形の外角の和、「ブーメラン形四角形」の角の大きさの関係を確認できる問題です。

「ブーメラン形四角形」は、四角形を２つの三角形に分けることによって三角形の外角のきまりが利用できる点がポイントです。

最後は折り返しの問題です。

【問題】［　］にあてはまる数を入れなさい。

正方形の折り紙を半分に折って、三角形にしたあと、図のように３回折りました。アの角の大きさは［　］度です。

（青山学院中等部　２０２５年　問題９　問題文一部変更）

【考え方】

「折り返し」は図形を線対称移動させることですから、対応する角の大きさは同じです。

ですから、折った紙を元に戻していくと、角の大きさは図のようになります。

●＋５４度＋●＋２７度＋●＋２７度＝１８０度　→　●＝（１８０度－１０８度）÷３＝２４度

●＋５４度＝２４度＋５４度＝７８度

４５度＋７８度＋×＝１８０度　→　×＝１８０度-１２３度＝５７度

×＋ア＝９０度　→　ア＝９０度－５７度＝３３度

答え　３３度

本問は、折り返した図形の考え方を確認できる問題です。

最後の状態からはじめの状態に順に戻していくことがポイントとなっています。

今回は、２０２５年度と２０２６年度に共学中で出された角の大きさの問題をご紹介しました。

大きさがわかる角に次々と数値を書き込んでいくことで答えを求めることができるようになれば、次は「角の５原則」や特別な四角形、多角形の角の大きさの求め方など利用し、着目する角を見つける練習ができるといいですね。