「第７７３回　共学中の入試問題　速さ ５」

これまで４回にわたり、近年に共学中の入試で出された「速さ」の問題について見てきました。

「速さ」の最終回となる今回は、「時計算」と「通過算」の問題を取り扱います。

１問目は時計算の問題です。

【問題】図１の時計は、私たちの身のまわりにある一般的な時計です。

（１） 図１の時計において、２時から３時の間で、時計の長針と短針がぴったり重なるのは２時何分ですか。

（２） 図１の時計において、２時から３時の間で、時計の長針と短針の間の角が初めて９０°になるのは２時何分ですか。

図２の時計は、長針が１時間で１周し、短針が１日で１周する時計です。この図は午後６時００分を表しています。

（３） 図２の時計において、午後６時００分の後、時計の長針と短針が初めてぴったり重なるのは何分後ですか。

（４） 図２の時計において、午後６時００分の後、時計の長針と短針の間の角が初めて９０°になってから、次に９０°になるまでに、何分かかりますか。

（三田国際学園中学校　第１回　２０２５年　問題２　※ 校名は出題時のものです。）

【考え方】

（１）

一般的な時計の長針は１分間に６度、短針は０.５度動きます。

２時００分に短針は長針よりも時計回りに

３６０度×２/１２＝６０度

先にありますから、長針が短針よりも６０度多く動くと、短針に重なります。

６０度÷（６度/分－０.５度/分）＝１２０/１１分＝１０ １０/１１分　…　２時００分から長針と短針が重なるまでの時間

答え　２時１０ １０/１１分

［別解］

短針を止め、長針が動く速さを

６度/分－０.５度/分＝５.５度/分

とする解き方もあります。

６０度÷５.５度/分＝１２０/１１分

（２）

（１）の［別解］と同じように、短針を止め、長針が動く速さを５.５度/分とすると、時計の長針と短針の間の角が初めて９０度になるのは、２時００分から長針が

６０度＋９０度＝１５０度

動いたときです。

１５０度÷（６度/分－０.５度/分）＝３００/１１分＝２７ ３/１１分　…　２時００分から長針と短針の間の角が初めて９０度になるまでの時間

答え　２時２７ ３/１１分

（３）

図２の時計の長針の動く速さは一般的な時計と同じ６度/分、短針の動く速さは

３６０度÷２４時間÷６０分＝０.２５度/分

ですから、短針を止めて考えると、長針が動く速さは

６度/分－０.２５度/分＝５.７５度/分

になります。

６０度÷５.７５度/分＝２４０/２３分＝１０ １０/２３分　…　午後６時００分から長針と短針が重なるまでの時間

答え　１０ １０/２３分後

（４）

短針を止め、長針が動く速さを５.７５度/分とすると、時計の長針と短針の間の角が初めて９０度になるのは、午後６時００分から長針が

６０度＋９０度＝１５０度

動いたときです。（左下図）

１５０度÷５.７５度/分＝６００/２３分　→　２時６００/２３分に長針と短針の間の角が初めて９０度になります。

午後６時００分から２回目に長針と短針の間の角が９０度になるのは、長針が短針よりも

６０度＋９０度＋１８０度＝３３０度

動いたときです。（右下図）

３３０度÷５.７５度/分＝１３２０/２３分　→　２時１３２０/２３分に長針と短針の間の角が２回目に９０度になります。

２時１３２０/２３分－２時６００/２３分＝７２０/２３分＝３１ ７/２３分

答え　３１ ７/２３分

［別解］

短針を止めて考えると、時計の長針と短針の間の角が初めて９０度になってから次に９０度になるまでに、長針は１８０度動きます。

１８０度÷５.７５度/分＝７２０/２３分＝３１ ７/２３分

本問は、長針と短針が作る角の大きさからその時刻などを求める時計算の基本を確認できる問題です。

２つの針を動かす解き方、短針を止める解き方のどちらでも解くことができると理想的です。

（３）、（４）を正解できないときは、「一般的ではない」時計であっても基本の考え方が通常の時計算と同じあることを確認します。

２問目は通過算の問題です。

【問題】２つの列車Ａ、Ｂがあります。列車Ｂは、列車Ａよりも長さが２０ｍ長く、列車Ａの１.５倍の速さで走ります。各列車がトンネルに入り始めてから完全に通り抜けるまでに列車Ａは２５秒、列車Ｂは１７.５秒かかります。列車Ａと列車Ｂが逆方向に走っているとき、２つの列車が出会ってから離れるまでに４.５秒かかります。次の各問いに答えなさい。

（１） 列車Ａの速さは秒速何ｍですか。求め方も書きなさい。

（２） トンネルの長さは何ｍですか。

（３） 列車Ａ、Ｂと長さが異なり、列車Ｂよりも速く走る列車Ｃがあります。列車Ｂと列車Ｃが逆方向に走っているとき、２つの列車が出会ってから離れるまでに６秒かかります。列車Ｂと列車Ｃが同じ方向に走っているとき、列車Ｃの先頭が列車Ｂの最後尾に追いついてから完全に追い越すまでに７８秒かかります。列車Ｃがトンネルに入り始めてから完全に通り抜けるまでに何秒かかりますか。

（早稲田実業学校中等部　２０２５年　問題３）

【考え方】

（１）

列車Ａと列車Ｂがトンネルを通過する様子は、トンネルの位置をそろえ、２つの線分図を縦に並べて表すことができています。

列車Ａと列車Ｂの最後尾（※ 先頭部も可）が進んだ道のりに着目します。

（ア）：（イ）＝２０：２１ より、ア＝⑳ｍ とすると イ＝㉑ｍ となり、

㉑ｍ－⑳ｍ＝２０ｍ　→　①ｍ＝２０ｍ

とわかります。

よって、列車Ａは

ア＝２０ｍ×２０＝４００ｍ

を２５秒で進みますから、その速さは

４００ｍ÷２５秒＝１６ｍ/秒

です。

答え　秒速１６ｍ

（２）

（１）より、列車Ｂの速さは

２０ｍ×２１÷１７.５秒＝２４ｍ/秒

です。

列車Ａと列車Ｂがすれ違う様子は、次のような線分図に表せます。

列車Ａと列車Ｂの最後尾が進んだ道のりの和に着目します。

（１６ｍ/秒＋２４ｍ/秒）×４.５秒＝１８０ｍ　…　列車Ａと列車Ｂの長さの和

「列車Ｂは、列車Ａよりも長さが２０ｍ長く」という条件がありますから、列車Ｂの長さは

（１８０ｍ＋２０ｍ）÷２＝１００ｍ

です。

よって、（１）の図より、トンネルの長さは

２０ｍ×２１－１００ｍ＝３２０ｍ

です。

答え　３２０ｍ

※ 速さが遅い列車Ａを止めたとき、列車Ａと列車Ｂがすれ違う様子は、列車Ｂの速さを列車Ａと列車Ｂの速さの和として、次のような図に表すこともできます。

（３）

速さが遅い列車Ｂを止めたとき、列車Ｂと列車Ｃがすれ違う様子、列車Ｃが列車Ｂを追い越す様子は、次のような線分図に表せます。

列車Ｃの最後尾が進んだ道のりに着目します。

（速さの和）：（速さの差）＝１３：１ より、速さの和を⑬ｍ/秒とすると速さの差は①ｍ/秒となり、列車Ｂの速さの２４ｍ／秒は

（⑬－①）÷２＝⑥ｍ/秒

のように表されます。

⑥ｍ/秒＝２４ｍ/秒　→　①ｍ/秒＝４ｍ/秒

４ｍ/秒×１３－２４ｍ/秒＝２８ｍ/秒　…　列車Ｃの速さ

ウ＝（２４ｍ/秒＋２８ｍ/秒）×６秒＝３１２ｍ

よって、列車Ｃの長さは

３１２ｍ－１００ｍ＝２１２ｍ

です。

ですから、列車Ｃがトンネルを通過する様子は、次のように表せます。

（２１２ｍ＋３２０ｍ）÷２８ｍ/秒＝１９秒

答え　１９秒

本問は、通過算の基本を確認できる問題です。

正解できないようでしたら、条件を線分図に表して考えてみましょう。

また、２つの列車がすれ違ったり、追い越したりする様子を図に表すときに、「遅い方を止める」という工夫ができることも大切です。

今回は、２０２５年度に共学中で出された時計算と通過算の問題をご紹介しました。

どちらの問題も条件を図に表すことが基本となっていますので、正解できない問題があれば、図をかけること、かいた図が正しいこと、図の読み取りができることを確認しましょう。