「第７７６回　共学中の入試問題　平面図形 ３」

近年に共学中の入試で出された「平面図形」について考えています。

今回は「辺の比と面積比」の一行問題を取り扱います。

１問目は直角三角形の相似の問題です。

【問題】直角三角形に扇形が図のように接しているとき、扇形の半径を求めなさい。

（昭和学院秀英中学校　第１回　２０２６年　問題２－（２））

【考え方】

直角に着目します。

三角形ＡＢＣと三角形ＤＢＥは、

角ＢＣＡ＝角ＢＥＤ＝９０度

角Ｂ（○）が共通

で、対応する２組の角の大きさが同じですから相似です。

三角形ＡＢＣは

ＢＣ：ＣＡ＝１０㎝：６㎝＝５：３

ですから、三角形ＢＥＤも

ＢＥ：ＥＤ＝５：３

です。

ＤＥ＝ＤＦ＝ＥＣ

ですから、

ＢＣ＝⑤＋③＝１０㎝　→　①＝１０㎝÷８＝１.２５㎝

です。

よって、おうぎ形の半径は

１.２５㎝×３＝３.７５㎝

です。

答え　３.７５㎝

本問は、相似を見つける基本レベルの問題です。

「対応する２組の角の大きさが等しい三角形は相似」を確認しましょう。

２問目も相似の基本問題です。

【問題】下の図で、四角形ＡＢＣＤは長方形です。点Ｅ、Ｆはそれぞれ辺ＢＣ、ＡＤ上にあり、ＡＢとＦＥは平行です。また、ＢＤとＥＦの交わった点をＧとし、ＣＥ＝１２㎝、ＥＧ＝４.５㎝とします。三角形ＢＥＧの面積が９㎠であるとき、台形ＧＥＣＤの面積は何㎠ですか。

（青山学院横浜英和中学校　Ａ日程　２０２５年　問題３－（１）　問題文一部変更）

【考え方】

条件を図にかき込みます。（図１）

三角形ＢＥＧに着目すると、

ＢＥ＝９㎠×２÷４.５㎝＝４㎝

とわかります。（図２）

三角形ＢＥＧと三角形ＢＣＤは、

角ＢＥＧ＝角ＢＣＤ＝９０度

角Ｂが共通

で、対応する２組の角の大きさが同じですから相似です。

三角形ＢＥＧは

ＢＥ：ＥＧ＝４㎝：４.５㎝＝８：９

ですから、三角形ＢＣＤも

ＢＣ：ＣＤ＝８：９

です。（図３）

ＢＣ＝⑧＝４㎝＋１２㎝　→　①＝１６㎝÷８＝２㎝

よって、

ＣＤ＝２㎝×９＝１８㎝

です。

（４.５㎝＋１８㎝）×１２㎝÷２＝１３５㎠

答え　１３５㎠

本問も、相似を見つける基本レベルの問題です。

なお、相似な図形における（相似比）×（相似比）＝（面積比）という関係を利用して解くこともできます。

三角形ＢＥＧと三角形ＢＣＤの相似比が

ＢＥ：ＢＣ＝４㎝：１６㎝＝１：４

ですから、面積比は

（１×１）：（４×４）＝１：１６

です。

よって、三角形ＢＥＧと台形ＧＥＣＤの面積比が

１：（１６－１）＝１：１５

となるので、台形ＧＥＣＤの面積は

９㎠×１５＝１３５㎠

です。

３問目は定番の問題です。

【問題】図の四角形ＡＢＣＤは、１辺が１０㎝の正方形です。ＡＥ＝ＣＧ＝２㎝のとき、斜線の部分の面積を求めなさい。

（東京農業大学第一高等学校中等部　第１回　２０２５年　問題３－（１））

【考え方】

斜線部分は面積を求める公式のない四角形ですから、ＢとＦを結ぶ直線で２つの三角形に分けて面積を求めます。（図１）

三角形ＡＥＦと三角形ＥＢＦは高さが等しい三角形なので、面積比と底辺の比は同じです。（図２）

底辺の比　ＡＥ：ＥＢ＝２㎝：（１０㎝－２㎝）＝１：４　→　面積比　△ＡＥＦ：△ＥＢＦ＝１：４

また、問題の図はＢＦについて線対称です。（図３）

三角形ＡＢＧに着目します。

①＋④＋④＝８㎝×１０㎝÷２　→　①＝４０㎠÷９＝４０/９㎠

よって、斜線部分の面積は

４０/９㎠×（１＋４＋４＋１）＝４００/９㎠＝４４ ４/９㎠

答え　４４ ４/９㎠

本問は、高さの等しい三角形における、底辺の比と面積比の関係を利用する問題です。

なお、相似を利用する解き方もあります。

４問目も定番の問題です。

【問題】図の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、平行四辺形ＡＢＣＤの面積、三角形ＡＢＥの面積、三角形ＡＦＤの面積は、それぞれ２４㎠、４㎠、３㎠です。三角形ＡＥＦ（斜線部分）の面積は何㎠ですか。

（法政大学第二中学校　第１回　２０２５年　問題２－（４））

【考え方】

「傾いた三角形」の面積を求めるので、「全体から引く」という方針を立てます。

三角形ＥＣＦの面積は、ＢＣ：ＥＣ や ＣＤ：ＣＦ などの辺の比がわかれば求められますので、平行四辺形の対角線ＡＣを引いて、ＢＣやＣＤを辺とする三角形を作ります。（図１）

三角形ＡＢＣと三角形ＡＢＥは高さの等しい三角形なので、面積比と底辺の比は同じです。

面積比　△ＡＢＣ：△ＡＢＥ＝（２４㎠÷２）：４㎠＝３：１　→　底辺の比　ＢＣ：ＢＥ＝３：１（図２）

同様に考えると、三角形ＡＣＤと三角形ＡＦＤの面積比が

（２４㎠÷２）：３㎠＝４：１

なので、底辺の比の ＣＤ：ＦＤ も ４：１ と求められます。（図３）

三角形ＡＢＥと三角形ＥＣＦについて整理します。

４㎠×３/２＝６㎠　…　三角形ＥＣＦの面積

ですから、斜線部分の面積は

２４㎠－（４㎠＋６㎠＋３㎠）＝１１㎠

答え　１１㎠

本問は、高さの等しい三角形を作る問題です。

平行四辺形を２つの三角形に分けながら、面積のわかっている三角形と高さの等しい三角形を作ることができる対角線ＡＣを補助線とすることがポイントになっています。

なお、解答例では（底辺の比）×（高さの比）＝（面積比）を利用していますが、次のように高さの等しい三角形を利用して解くこともできます。

最後は処理手順の長い一行問題です。

【問題】右図のように、平行四辺形ＡＢＣＤがあり、面積は４８０㎠です。辺ＡＢ、ＢＣ、ＤＡ上にそれぞれ点Ｅ、Ｆ、Ｇがあり、ＡＥ：ＥＢ＝１：４で、点Ｆ、Ｇはそれぞれ辺の真ん中の点です。このとき、図の斜線部分の面積は何㎠ですか。

（明治大学付属明治中学校　第１回　２０２５年　問題１－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

２組の相似な三角形に着目すると、斜線部分の面積が三角形ＦＧＨの面積と三角形ＦＪＩの面積の差として求められます。

三角形ＡＥＨと三角形ＦＧＨは相似で、

ＡＥ：ＦＧ＝１：（１＋４）＝１：５

ですから、ＡＨ：ＦＨ も １：５ です。（左下図）

また、三角形ＡＨＧと三角形ＦＧＨは高さの等しい三角形ですから、面積比は底辺の比と同じです。

底辺の比　ＡＨ：ＦＨ＝１：５　→　△ＡＨＧ：△ＦＧＨ＝１：５（中央下図）

さらに、三角形ＡＨＧと三角形ＦＧＨを合わせた三角形ＦＧＡと三角形ＢＤＡも高さの等しい三角形ですから、面積比は底辺の比の

ＡＧ：ＡＤ＝１：２

と同じ １：２ です。

４８０㎠÷２×１/２＝１２０㎠　…　三角形ＦＧＡの面積（右下図）

１２０㎠×５/（１＋５）＝１００㎠　…　三角形ＦＧＨの面積

次に、三角形ＢＦＪと三角形ＢＣＤは相似で、

ＢＦ：ＢＣ＝１：（１＋１）＝１：２

ですから、ＦＪ：ＣＢ も １：２ です。（左下図）

また、三角形ＡＢＩと三角形ＦＪＩも相似で、相似比が

ＡＢ：ＦＪ＝２：１

ですから、ＢＩ：ＪＩ も ２：１ です。（中央下図）

さらに、三角形ＢＦＩと三角形ＦＪＩは高さの等しい三角形ですから、面積比は底辺の比の ＢＩ：ＪＩ と同じ ２：１ で、三角形ＢＦＩと三角形ＦＪＩを合わせた三角形ＢＦＪの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの１/４の半分です。

４８０㎠×１/４×１/２＝６０㎠　…　三角形ＢＦＪの面積（右下図）

６０㎠×１/（２＋１）＝２０㎠　…　三角形ＦＪＩの面積

よって、斜線部分の面積は

１００㎠－２０㎠＝８０㎠

です。

答え　８０㎠

本問は、相似や高さの等しい三角形の面積の関係を利用して解く問題です。

手順の長い一行問題ですが、ひとつひとつの処理は基本レベルですから、はじめに正しい方針を立てることが大切です。

今回は、２０２５年度と２０２６年度に共学中で出された「辺の比と面積比」の一行問題をご紹介しました。

今回の解答例では、「相似」、「高さの等しい三角形」という基本の解き方を利用しています。

その他の解き方がある問題もありますが、もし、正解できない問題があれば、まずは解答例のような解き方を確認し、さらに、同レベルの問題の演習を通して、基本の解法を確実にマスターしましょう。