第778回 共学中の入試問題 平面図形 5
「第７７８回 共学中の入試問題 平面図形 ５」
ここまで、近年に共学中の入試で出された「平面図形」がテーマの問題を見てきています。
今回は「図形の移動」について考えます。
１問目は対称移動の問題です。
【問題】［ ］にあてはまる数を入れなさい。円周率を使う場合は３.１４とします。
図は、台形ＡＢＣＤから半径２㎝の半円を切り取ったものです。この図と直線アイが対称の軸になるような線対称な図形と、点Ｏが対称の中心になるような点対称な図形をかいたとき、直線アイの右側で、２つの図形が重なった部分の面積は［ ］㎠です。
（青山学院中等部 ２０２５年 問題７ 問題文一部変更）
【考え方】
直線アイを対称の軸とする図形、点Ｏを対称の中心とする図形をそれぞれかくと、重なりは右下図の色をつけた部分です。
次の図形式のように、重なった部分の面積は、直角二等辺三角形（赤色）の面積から２つの弓形の面積（四分円（水色）と直角二等辺三角形（紫色）の面積の差）を引いて求められます。
８㎝×４㎝÷２＝１６㎠ … 直角二等辺三角形（赤色）の面積
２㎝×２㎝×３.１４×９０度/３６０度×２＝６.２８㎠ … ２つの四分円の面積
２㎝×２㎝÷２×２＝４㎠ … 直角二等辺三角形（紫色）の面積
１６㎠－（６.２８㎠－４㎠）＝１３.７２㎠
答え １３.７２㎠
本問は、線対称移動な図形と点対称移動な図形をかく問題です。
解答例のようなマス目をかく工夫をすると、作図や計算がしやすいでしょう。
２問目は平行移動の問題です。
【問題】下の図のように、直角三角形と正方形が重なっています。このとき、次の問いに答えなさい。
（１） 直角三角形と正方形が重なった部分の周囲の長さを求めなさい。
（２） 直角三角形が直線ℓ上を毎秒１㎝の速さで矢印の方向に移動したときに、直角三角形と正方形が重なった部分の周囲の長さを考えます。直角三角形と正方形が重なった部分の周囲の長さが１５㎝となるのは直角三角形が移動してから何秒後ですか。
（法政大学中学校 第１回 ２０２５年 問題４ 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
三角形ＡＢＣと三角形ＥＤＣは相似で、相似比が
ＢＣ：ＤＣ＝８㎝：（８㎝－６㎝）＝４：１
ですから、
ＡＢ：ＥＤ＝ＡＣ：ＥＣ＝４：１
です。
６㎝：□㎝＝４：１ → □＝６㎝×１÷４＝１.５㎝
１０㎝：■㎝＝４：１ → ■＝１０㎝×１÷４＝２.５㎝
ＡＥ＝１０㎝－２.５㎝＝７.５㎝
６㎝＋６㎝＋１.５㎝＋７.５㎝＝２１㎝
答え ２１㎝
（２）
１秒後の様子を調べます。
三角形ＧＨＩと三角形ＪＤＩは相似で、相似比が
ＨＩ：ＤＩ＝８㎝：（８㎝－５㎝）＝８：３
ですから、
ＧＨ：ＪＤ＝ＧＩ：ＪＩ＝８：３
です。
６㎝：□㎝＝８：３ → □＝６㎝×３÷８＝９/４㎝
１０㎝：■㎝＝８：３ → ■＝１０㎝×３÷８＝１５/４㎝
ＧＪ＝１０㎝－１５/４㎝＝４５/４㎝
６㎝＋５㎝＋９/４㎝＋２５/４㎝＝１９.５㎝ … １秒後の重なりの周囲の長さ
直角三角形が動き始めてからの周囲の長さの変化に着目します。
上の図から、重なりの周囲の長さが１秒間に１.５㎝減ることがわかりますから、周囲の長さが０秒後の２１㎝から★秒後の１５㎝まで
２１㎝－１５㎝＝６㎝
減るのにかかる時間は
６㎝÷１.５㎝/秒＝４秒
です。
答え ４秒後
本問は、平行移動の作図、１秒あたりの変化の割合を利用する問題です。
（２）を正解できないときは、図形を１㎝ずつ移動させた図をかいてみましょう。
３問目は回転移動の問題です。
【問題】図のような一辺１０ｍの正方形の柵がある。柵にはＡを中心に内側のみに開く戸が１つあり、Ｂの位置には一頭の羊がロープでつながれている。ロープの長さは１ｍから１０ｍの間で固定することができる。戸や柵の厚さ、および羊の大きさは考えないものとし、羊の位置はロープの端と考える。円周率は３.１４として、以下の問いに答えなさい。
（１） 戸が閉まっている状態から、図のように内側に全開になるまでの、戸が開いた角度を求めなさい。
（２） 戸が図のように内側に全開の状態で、ロープの長さを１０ｍで固定したときの、羊の動ける範囲の面積を求めなさい。
（３） 戸が閉まっている状態で、羊が動ける範囲の周囲の長さ（直線の部分も含む）を測ったところ、４６.４ｍであった。このとき、ロープの長さを何ｍに固定しましたか。
（慶應義塾湘南藤沢中等部 ２０２５年 問題３）
【考え方】
（１）
戸を厚さのない直線で表します。
三角形ＡＥＤは正三角形を２等分した図形ですから、○＝６０度です。
よって、戸が開いた角度は
１８０度－６０度＝１２０度
です。
答え １２０度
（２）
羊が動ける範囲は、次のア～エの４つのおうぎ形の部分です。
１０ｍ×１０ｍ×３.１４×１８０度/３６０度＝５０㎡×３.１４ … アの面積
４ｍ×４ｍ×３.１４×９０度/３６０度＝４㎡×３.１４ … イの面積
６ｍ×６ｍ×３.１４×９０度/３６０度＝９㎡×３.１４ … ウの面積
３ｍ×３ｍ×３.１４×１２０度/３６０度＝３㎡×３.１４ … エの面積
（５０㎡＋４㎡＋９㎡＋３㎡）×３.１４＝２０７.２４㎡
答え ２０７.２４㎡
（３）
羊が動ける範囲について、おうぎ形の個数で場合分けをします。
おうぎ形が１個の場合、ロープの最大の長さは４ｍです。
４ｍ×２＋４ｍ×２×３.１４×１８０度/３６０度＝２０.５６ｍ
おうぎ形が２個の場合、ロープの最大の長さは６ｍです。
６ｍ×２＋６ｍ×２×３.１４×１８０度/３６０度＋２ｍ×２×３.１４×９０度/３６０度＝３３.９８ｍ
おうぎ形が３個の場合、ロープの最大の長さは１０ｍです。
１０ｍ×２＋１０ｍ×２×３.１４×１８０度/３６０度＋６ｍ×２×３.１４×９０度/３６０度＋４ｍ×２×３.１４×９０度/３６０度＝６７.１ｍ
わかったことをグラフに整理すると、周囲の長さが４６.４ｍになるのはロープの長さが６ｍから１０ｍの間（おうぎ形が３個の場合）であることがわかります。
赤色の三角形は相似です。
（６７.１ｍ－３３.９８ｍ）：（４６.４ｍ－３３.９８ｍ）＝３３.１２ｍ：１２.４２ｍ＝８：３
ですから、
（１０ｍ－６ｍ）：（□ｍ－６ｍ）＝８：３
です。
□ｍ＝（１０ｍ－６ｍ）×３÷８＋６ｍ＝７.５ｍ
答え ７.５ｍ
本問は、直線の回転移動の作図と変化の割合を利用する問題です。
なお、（３）では、直角三角形を移動させる前問のように、ロープの長さを１ｍずつ長くした図をかいて考えることもできますし、ロープの長さが６ｍ以上の場合とわかった段階で、ロープの長さを①ｍとして解く方法もあります。
最後は転がり移動の応用問題です。
【問題】図のように、直径６㎝のコインを３枚つなげ、直線上をすべらないように１回転させました。ＰＱの長さは何㎝ですか。円周率は、３.１４を用いなさい。
（中央大学附属中学校 第１回 ２０２５年 問題１－（６） 問題文一部変更）
【考え方】
３枚あるコインのうち、転がる向きの一番右側にあるコイン（赤色）の動きに着目します。（図１）
赤色のコインはＢＣが直線と重なるまで、中心角が１２０度であるおうぎ形の弧ＡＢの長さだけ転がります。（図２）
その後、Ｄで接するコイン、Ｅで接するコインをかきたします。（図３）
その後も同様に作図できます。
６㎝×３＋６㎝×３.１４×１２０度/３６０度×３＝３６.８４㎝
答え ３６.８４㎝
本問は、３枚あるコインの中から１枚のコインに着目することが作図のポイントとなる問題です。
今回は、２０２５年度に共学中の入試で出された「図形の移動」の問題をご紹介しました。
この単元が苦手なときは、基本レベルの問題を使って、作図する力、相似の利用や変化の割合などの解法知識をそれぞれ確認しましょう。
