「第７８３回　共学中の入試問題　立体図形 ５」

これまで、近年に共学中の入試で出された「立体図形」の問題について見てきています。

今回は「水の問題」を取り扱います。

１問目は「水とグラフ」の問題です。

【問題】図１は、仕切り板のある水そうです。この水そうに、水がいっぱいになるまで一定の割合で水を入れ続けます。図２は水を入れ始めてからの時間と水そうにたまった水の最も深いところの高さ（水位）との関係を表したグラフです。ただし、仕切り板の厚さは考えないものとします。後の各問いに答えなさい。

（１） 図１の㋐の長さを求めなさい。

（２） 水を入れ始めてから水そうがいっぱいになるまでの時間を求めなさい。

（筑波大学附属中学校　２０２５年　問題２）

【考え方】

（１）

時間と水位の関係を表したグラフは、水が仕切り板を越えるときに変化します。

そこで、図２のグラフからわかることを、図１の水そうを正面から見た図に記入すると、次のようになります。

（水が入っている部分の体積）＝（１分間に入る水の量）×（時間）ですから、１分間に入る水の量を□㎤とすると、３０分後の図より

５０㎝×６０㎝×５０㎝＝□㎤/分×３０分　→　□＝５０００（㎤）

とわかります。

仕切り板の左側で水位が５０㎝になった３０分後から水が仕切り板を越えて右側に入り始め、４５分後に水面の位置が左側と同じになりますので、

５０㎝×㋐×（５０㎝－２０㎝）＝５０００㎤/分×（４５分－３０分）　→　㋐＝５０㎝

です。

答え　５０㎝

（２）

４５分後から満水になるまでに入る水（下図の赤色部分）の体積は

５０㎝×（６０㎝＋５０㎝）×（１００㎝－５０㎝）＝２７５０００㎤

です。

２７５０００㎤÷５０００㎤/分＝５５（分）…　４５分後から満水になるまでの時間

４５分＋５５分＝１００分

答え　１００分

本問は、グラフの読み取りと（水が入っている部分の体積）＝（１分間に入る水の量）×（時間）の使い方を確認できる基本レベルの問題です。

正解できないようでしたら、正面から見た図にグラフからわかることがかけることを確認しましょう。

２問目は「容器の向きを変える」問題です。

【問題】□にあてはまる数を入れなさい。

図１のような、高さが６㎝の正三角形を底面とする正三角柱と、正六角柱をつなぎ合わせた容器があります。この容器にいくらかの水を入れ、図１を矢印の向きから見たものが図２です。このとき、水面の高さは３㎝でした。

（１） この容器の正六角柱の部分に入っている水の体積は、正六角柱の部分の容積の□倍です。

（２） この容器を正三角形の面が下になるように立たせたとき、水の高さは□㎝です。

（青山学院中等部　２０２５年　問題１３）

【考え方】

（１）

容器の正六角柱の部分は底面が正六角形、高さが１２㎝、正六角柱で水が入っている部分は底面が六角形、高さが１２㎝の柱体です。

また、正六角柱の底面は高さ２㎝の合同な６個の正三角形に、水が入っている部分の底面は高さ１㎝の合同な１９個の正三角形に分割することができます。

高さが２㎝の正三角形の中に高さが１㎝の正三角形がピッタリ４個入りますから、正六角柱の底面の面積は高さ１㎝の正三角形の ４個×６＝２４個分 です。

１９÷２４＝１９/２４（倍）

答え　１９/２４倍

（２）

（１）の図より、容器の正三角柱の底面が高さ１㎝の正三角形の ４個×９＝３６個分、三角柱の水が入っている部分の底面が高さが１㎝の正三角形の２７個分とわかります。

ですから、容器と水の体積の関係は次のようになります。

よって、容器の向きを変えると、容器の下側となる正三角柱の部分はすべてに水が入り、容器の上側となる正六角柱の部分は下から□㎝のところまで水が入ります。

□㎝：１２㎝＝⑩：㉔　→　□㎝＝１２㎝×１０÷２４＝５㎝

１２㎝＋５㎝＝１７㎝

答え　１７㎝

本問は、底面積・高さ・体積の関係と容器の向きを変えても水の体積が変わらないことを利用しますが、その他に正三角形とその内部にピッタリ入る正六角形の面積の関係や正六角形の均等分割の知識も必要となる、応用レベルの問題です。

最後は、「水とグラフ」と「容器を傾ける」がテーマの問題です。

【問題】図１のような仕切りのついた水そうがあり、アの上部から一定の割合で水を注ぎます。また、イの底面には排水口があり、１分間に１５０㎤の割合で水を排水します。はじめは排水口を閉めた状態から水を入れ、しばらくしてから排水口を開け、水そうが満水になったら水を注ぐのをやめ、またしばらくして排水口を閉めてから容器を太線の部分を固定して図２のように、ゆっくりと左に４５°傾けたところ、１００Ｌの水がこぼれました。図３のグラフは水を注いでからの時間とアの部分の高さを表したものです。ただし、水そうと仕切りの厚みは考えないものとします。このとき、次の問いに答えなさい。

（１） 水は毎分何㎤の割合で注がれていますか。

（２） 排水口を開けたのは水を入れ始めてから何分後ですか。

（３） 排水口を閉めたのは水そうが満水になってから何分後ですか。

（栄東中学校　Ⅰ入試　２０２６年　問題５）

【考え方】

（１）

グラフは水が仕切り板を越えるときに変化しますから、水を入れ始めてから５０分後に水が仕切りと同じ高さになるとわかります。

４０㎝×３０㎝×２５㎝÷５０分＝６００㎤/分

答え　毎分６００㎤

（２）

横の長さが３０㎝、高さが２５㎝のアの部分に水が入るのにかかる時間が５０分ですから、もし、排水口を開けなければ、アと高さが同じ２５㎝で横の長さが２倍の６０㎝であるイの部分に水が入るのに２倍の１００分かかり、５０分＋１００分＝１５０分 にグラフが変化するはずです。

しかし、実際にはそれよりも１０分後の１６０分にグラフが変化していますから、５０分から１６０分の間で排水口を開けたことになります。

４０㎝×６０㎝×２５㎝＝６００００㎤　…　５０分から１６０分までにたまった水

６００㎤/分－１５０㎤/分＝４５０㎤/分　…　排水口が空いているときにたまる水の割合

つるかめ算です。

１６０分－５０分＝１１０分

□分＝（６００００㎤－４５０㎤/分×１１０分）÷（６００㎤/分－４５０㎤/分）＝７０分

５０分＋７０分＝１２０分

答え　１２０分後

（３）

水そうが満水になったときのようすを図に表します。（図あ）

４０㎝×３０㎝×２５㎝＝３００００㎤

４０㎝×６０㎝×２５㎝＝６００００㎤

４０㎝×（３０㎝＋６０㎝）×２５㎝＝９００００㎤

仕切り板の左右に２５㎝の高さまで水が入ったときの体積が９００００㎤＝９０Ｌで、排水口を閉めてから水そうを傾けてこぼれた水の体積が１００Ｌでしたから、水そうを傾けたとき＝排水口を閉めたときの水の深さは２５㎝より深かったとわかります。（図い）

（図い）の状態から水そうを４５度傾けると、（図う）のように水が残ります。

（図う）の一部を拡大すると、赤色の三角形と水色の三角形がそれぞれ直角二等辺三角形であることがわかります。（図え）

■㎝＝５０㎝－３０㎝＝２０㎝

（５０㎝＋２０㎝）×３０㎝÷２×４０㎝＋２５㎝×２５㎝÷２×４０㎝＝５４５００㎤　…　容器を傾けた後に残る水

ですから、排水口から出た水は

４０㎝×（３０㎝＋６０㎝）×５０㎝－（１００Ｌ×１０００＋５４５００㎤）＝２５５００㎤

です。

２５５００㎤÷１５０㎤/分＝１７０分　…　水そうが満水になってから排水した時間

答え　１７０分後

本問の（１）はグラフの読み取り、（２）はつるかめ算の利用、（３）は容器を傾けたときの作図を確認できる問題です。

（３）の作図において、容器を傾けた図をかきにくいときは、解答例のように水面を傾けてみましょう。

今回は、２０２５年度と２０２６年度に共学中で出された「水の問題」をご紹介しました。

「水の問題」は、グラフの読み取り、水の体積＝決まった時間に入る水×時間、正面から見た図を利用して考えることが基本です。

今回のような問題が苦手なときは、まずは、グラフが変化する理由、見取り図を参考にして正面から見た図をかくことの２点について、基本問題を使った復習に取り組みましょう。