「第７８２回　共学中の入試問題　立体図形 ４」

前回は、近年に共学中の入試で出された「立体図形」の中から、「立体の切断」の問題を見ました。

今回も、前回に引き続いて「立体の切断」の問題を取り扱います。

１問目は切断と展開図の問題です。

【問題】図１の立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨは一辺の長さが４㎝です。辺ＡＤ、ＣＤ、ＥＦ上にそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒがあり、ＡＰ：ＰＤ＝ＣＱ：ＱＤ＝ＦＲ：ＲＥ＝３：１です。この３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で立方体を切断すると、断面は六角形になります。この断面と辺ＡＥが交わる点をＳとするとき、次の各問いに答えなさい。ただし、（角すいの体積）＝（底面の面積）×（高さ）÷３です。

（１） ＡＳとＳＥの長さの比を、もっとも簡単な整数の比で表しなさい。（この問題は答えのみでよい）

（２） Ｈを含む立体の体積を求めなさい。

（３） Ｂを含む立体をさらに何回か切断したとき、切断して残った立体の展開図は図２のようになります。どのように切断すればよいか説明しなさい。（この問題は答えのみでよい）

（４） （３）において。切断して残った立体の体積を求めなさい。

（芝浦工業大学附属中学校　第１回　２０２５年　問題５）

【考え方】

（１）

はじめに、切断のきまり「同じ面上の２点を結ぶ」に従い、ＰとＱを結びます。（図ア）

次に、切断のきまり「平行に向かい合う面の切り口は平行」に従い、ＲＴを引きます。（図イ）

さらに、切断のきまり「延長」に従い、ＨＧとＲＴを延長し、その交点をＶとします。（図ウ）

続けて、同じ面上にあるＱとＶを結び、ＣＧとの交点をＵとすると、ＣＵ：ＵＧ＝３：１です。（図エ）

同様にＰＳ、ＳＲを引くと、３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で立方体を切断したときの断面である六角形ＰＱＵＴＲＳを作図できます。（図オ）

図のように、

ＡＳ：ＳＥ＝ＣＵ：ＵＧ＝３：１

です。

答え　３：１

※ 上記では、見やすい図とするためにＣＵ：ＵＧを先に求めていますが、ＲＴをＲ側に延長した直線とＥＨをＥ側に延長した直線の交点とＰと結んで、ＡＳ：ＳＥを求めてもＯＫです。

（２）

Ｈを含む立体の体積は、相似な大小の三角すいの体積の差として求められます。

５㎝×５㎝÷２×５㎝÷３－１㎝×１㎝÷２×１㎝÷３×３個＝６１/３㎤＝２０ １/３㎤

答え　２０ １/３㎤

（３）

図２の展開図を組み立てると左下図のような六角すいができ、三角形ＢＰＱに着目して図１の立方体と組み合わせると、右下図のようになります。

見取り図から、図２の展開図を組み立ててできた六角すいは、３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で立方体を２つにわけたときのＢを含む立体から、三角すいＢ-ＡＰＳ、三角すいＢ-ＦＴＲ、三角すいＢ-ＣＱＵを取り除いたものとわかります。

答えの例　三角すいＢ-ＡＰＳと、三角すいＢ-ＡＰＳと合同でＣを含む三角すい、三角すいＢ-ＡＰＳと合同でＦを含む三角すいを取り除くように切断する。

（４）

上の図形式のように、立方体から（２）で求めた立体を取り除いてＢを含む立体を残し、そこから（３）で考えた３つの三角すいを取り除きます。

４㎝×４㎝×４㎝－２０ １/３㎤＝４３ ２/３㎤　…　Ｂを含む立体の体積

３㎝×３㎝÷２×４㎝÷３＝６㎤　…　三角すいＢ-ＡＰＳの体積

４３ ２/３㎤－６㎤×３＝２５ ２/３㎤

答え　２５ ２/３㎤

本問は、（１）、（２）が立方体の切断の考え方を利用する基本レベルの問題、（３）、（４）が切断と展開図の関係を考える応用レベルの問題です。

立体図形が苦手なようでしたら、まずは（１）、（２）を正解できるように、立方体を切断する作図の練習をしましょう。

２問目は２回切断の問題です。

【問題】立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨにおいて、次の問いに答えなさい。

（１） 立方体の８つの頂点の中から、異なる２点を選び直線で結ぶとき、結んだ直線の中で最も長くなる直線は全部で何本ありますか。

（２） 立方体の８つの頂点から異なる４点を選んで立体を作ります。このようにしてできる立体の中で体積が最も大きくなる立体は全部でいくつありますか。

（３） （２）で求めたすべての立体に共通している部分の体積は、立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨの体積の何倍か求めなさい。ただし、重なる部分がない場合は０と答えなさい。

（広尾学園中学校　第１回　２０２５年　問題３）

【考え方】

（１）

最も離れた２つの頂点を選んで結ぶとき、直線の長さが最も長くなります。

答え　４本

（２）

４つの頂点を選んでできる立体は三角すいです。

はじめに、立方体の１つの面を半分にした直角二等辺三角形を底面とする三角すい（図１）と立方体の体積の比を求めます。

三角すいＥ-ＡＢＣ、三角すいＧ-ＡＢＣ、三角すいＨ-ＡＢＣも図１の三角すいと同じ高さなので、体積も図１の三角すいと同じです。

次に、４つの合同な正三角形を面とする三角すい（下の図２の正四面体）と立方体の体積比を求めます。

三角すいＦ-ＡＢＣと立方体の体積比が１：６ですから、図２の正四面体と立方体の体積比は

（６－１×４）：６＝２：６

とわかります。

ですから、体積が最も大きい三角すいは図２のような正四面体です。

答え　２個

（３）

２つの正四面体の重なりは、「正四面体ＡＣＦＨを、正四面体ＢＤＥＧの４つの面で切断する」のように考えることができます。

はじめに、正四面体ＡＣＦＨを三角形ＢＤＥで切断すると、正四面体ＡＣＦＨの辺と三角形ＢＤＥの辺が次の３点Ｐ、Ｑ、Ｒで交わりますから、三角形ＰＲＱが切り口になります。

次に、三角形ＢＤＧで切断すると、三角形ＰＳＴが切り口になります。

さらに、三角形ＢＥＧで切断すると三角形ＱＴＵが、三角形ＤＥＧで切断すると三角形ＲＳＵが切り口になります。

以上から、（２）で求めた２つの正四面体の重なりは八面体ＰＱＲＳＴＵとわかります。

また、この八面体の６個の頂点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、Ｔ、Ｕは、元の立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨの６つの面の真ん中の点（正方形の２本の対角線の交点）になっています。

ですから、八面体ＰＱＲＳＴＵを真上や正面から見ると次のようになり、底面積が立方体の１/２、高さも立方体の１/２である四角すいＰ-ＱＲＳＴの体積の２倍であることがわかります。

（１×２）÷１２＝１/６（倍）

答え　１/６倍

本問は、立方体を切断してできる立体についての知識と２回切断の考え方を確認できる問題です。

（２）は「４つの点からできる立体＝三角すい（四面体）」と考えられることがポイントになっています。

なお、（２）の正四面体の体積が立方体の１/３、（３）の正八面体の体積が立方体の１/６という知識があれば、それを活用してもかまいません。

今回は、２０２５年度に共学中の入試で出された「立体の切断」の問題を、前回に引き続いてご紹介しました。

前回同様、見取り図のかき方、合同や相似を利用した各部の長さの求め方がポイントです。

今回のような少し難しい問題が正解できないときは、前回見た問題と同じようなレベルの問題を使って、切断の基礎力を強化しましょう。