「第７８１回　共学中の入試問題　立体図形 ３」

近年に共学中の入試で出された「立体図形」の問題について考えています。

「求積」、「回転体」に続いて、今回は「立体の切断」の問題を見ていきます。

１問目は直方体を切断する問題です。

【問題】下の図のように、ＡＢ＝８㎝、ＡＤ＝１０㎝、ＡＥ＝６㎝の直方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨがあります。辺ＤＨ上にＤＰ＝２㎝となる点Ｐをとり、辺ＣＧ上にＣＱ＝４㎝となる点Ｑをとります。この直方体を３点Ｐ、Ｑ、Ｅを通る平面で切って２つの立体に分けるとき、小さい方の立体の体積を求めなさい。

（市川中学校　第１回　２０２６年　問題１－（５））

【考え方】

はじめに、切断のきまりの「同じ面の２点を結ぶ」に従って、ＰとＱ、ＰとＥを結びます。（図１）

次に、切断のきまりの「平行に向かい合う面の切り口は平行」を利用するために、直方体を右から見た図をかきます。（図２）

３点Ｐ、Ｑ、Ｅを通る平面が辺ＦＧと交わる点をＳとします。

三角形ＰＥＨと三角形ＱＳＧは相似で、相似比が

ＰＨ：ＱＧ＝（６㎝－２㎝）：（６㎝－４㎝）＝２：１

ですから、ＥＨ：ＳＧ も ２：１ です。

１０㎝：ＳＧ＝２：１　→　ＳＧ＝５㎝

最後に同じ面にあるＥとＳを結ぶと、求める立体が三角すい台ＱＳＧ-ＰＥＨとわかります。

三角すい台の体積は、相似な大小の三角すいの体積の差として求められます。

三角すいＴ-ＱＳＧと三角すいＴ-ＰＥＨは相似で、相似比が

ＱＧ：ＰＨ＝１：２＝ＴＧ：ＴＨ

ですから、

ＴＧ：ＧＨ＝１：（２－１）＝１：１

です。

ＴＧ：８㎝＝１：１　→　ＴＧ＝８㎝

また、三角すいＴ-ＱＳＧと三角すいＴ-ＰＥＨの体積比は

（１×１×１）：（２×２×２）＝１：８

ですから、三角すいＴ-ＱＳＧと三角すい台ＱＳＧ-ＰＥＨの体積比は

１：（８－１）＝１：７

です。

５㎝×２㎝÷２×８㎝÷３＝４０/３㎤　…　三角すいＴ-ＱＳＧの体積

よって、三角すい台ＱＳＧ-ＰＥＨの体積は

４０/３㎤×７＝２８０/３㎤＝９３ １/３㎤

です。

答え　９３ １/３㎤

本問は、切断のきまりと三角すい台の体積の求め方を確認できる問題です。

直方体も立方体のときと同じように、切断のきまりを使って作図をしましょう。

２問目は三角柱を切断する問題です。

【問題】下の三角柱について次の問いに答えなさい。

（１） この三角柱の体積を求めなさい。

（２） この三角柱を３点Ａ、Ｐ、Ｑを通る平面で２つに切るとき、この平面が通る辺ＥＦ上の点をＲとする。このときＲＦの長さを求めなさい。

（３） この三角柱を３点Ａ、Ｐ、Ｓを通る平面で２つに切るとき、切り口の面積を求めなさい。

（慶應義塾湘南藤沢中等部　２０２５年　問題４）

【考え方】

（１）

６㎝×８㎝÷２×９㎝＝２１６㎤

答え　２１６㎤

（２）

はじめに、切断のきまりの「同じ面上の２点を結ぶ」に従って、ＡとＰ、ＡとＱを結びます。（図１）

次に、切断のきまりの「平行に向かい合う面の切り口は平行」を利用するために、三角柱を真上から見た図をかきます。（図２）

三角形ＡＢＰと三角形ＱＥＲは相似で、相似比が

ＡＢ：ＱＥ＝８㎝：（８㎝－６㎝）＝４：１

ですから、ＢＰ：ＥＲ も ４：１ です。

４㎝：ＥＲ＝４：１　→　ＥＲ＝１㎝

よって、

ＲＦ＝６㎝－１㎝＝５㎝

です。

答え　５㎝

（３）

三角柱を３点Ａ、Ｐ、Ｓを通る平面で２つに切ったときにできる三角すいＡ-ＢＰＳに着目します。

三角すいＡ-ＢＰＳの底面である三角形ＢＰＳが等しい２辺の長さが４㎝の直角二等辺三角形、三角すいＡ-ＢＰＳの高さであるＡＢが８㎝ですから、三角すいＡ-ＢＰＳは１辺の長さが８㎝の立方体を右下の図のように切断してできる三角すいと同じです。

ですから、三角すいＡ-ＢＰＳの展開図は次のようになります。

８㎝×８㎝－（４㎝×４㎝÷２＋４㎝×８㎝÷２×２）＝２４㎠

答え　２４㎠

本問は、切断のきまりと三角すいの展開図に関する知識を利用する問題です。

展開図が正方形になる特別な三角すいと立方体の関係を確認しましょう。

３問目は２回切断の問題です。

【問題】下の図のような、１辺の長さが６㎝の立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨがあります。辺ＢＦの真ん中の点をＭとするとき、次の問いに答えなさい。

（１） ３点Ｂ、Ｅ、Ｇを通る平面で立方体を切ったときにできる立体のうち、頂点Ｆをふくむ立体の体積は何㎤ですか。

（２） ３点Ｃ、Ｅ、Ｍを通る平面で立方体を切ったときにできる立体のうち、頂点Ｆをふくむ立体の体積は何㎤ですか。

（３） ３点Ｂ、Ｅ、Ｇを通る平面と３点Ｃ、Ｅ、Ｍを通る平面の両方で立方体を切ったときにできる立体のうち、頂点Ｆをふくむ立体の体積は何㎤ですか。

（中央大学附属横浜中学校　第１回　２０２５年　問題２）

【考え方】

（１）

切断のきまりの「同じ面上の２点を結ぶ」に従って、ＢとＥ、ＥとＧ、ＧとＢを結ぶと、頂点Ｆをふくむ立体が三角すいＢ-ＥＦＧとわかります。

６㎝×６㎝÷２×６㎝÷３＝３６㎤

答え　３６㎤

（２）

はじめに、切断のきまりの「同じ面上の２点を結ぶ」に従って、ＣとＭ、ＭとＥを結びます。（図１）

次に、切断のきまりの「平行に向かい合う面の切り口は平行」を利用するために、立方体を正面から見た図をかきます。（図２）

三角形ＣＤＮと三角形ＥＦＭは合同な直角三角形ですから、ＤＮ＝ＮＨ＝３㎝です。

最後に、同じ面上にあるＮとＥを結びます。（図３）

図４のように、３点Ｃ、Ｅ、Ｍを通る平面で立方体を切ったときにできる２つの立体は合同ですから、頂点Ｆをふくむ立体の体積は立方体の体積の半分です。

６㎝×６㎝×６㎝÷２＝１０８㎤

答え　１０８㎤

※ 底面が正方形ＥＦＧＨである「断頭四角柱」と考え、（底面積）×（向かい合う高さの平均）＝（体積）を利用する方法もあります。

６㎝×６㎝×（０㎝＋６㎝）/２ または ６㎝×６㎝×（３㎝＋３㎝）/２＝１０８㎤

（３）

「３点Ｃ、Ｅ、Ｍを通る平面で立方体を切ったときにできる立体のうち、頂点Ｆをふくむ立体（（２）で体積を求めた断頭四角柱）を、３点Ｂ、Ｅ、Ｇを通る平面で切る」のように考えることができます。（図５）

３点Ｂ、Ｅ、Ｇを通る平面（青線の三角形ＢＥＧ）は、切られる断頭四角柱（赤線）と３点Ｏ、Ｅ、Ｇを共有しますから、切り口はこれらの点を結んでできる三角形ＯＥＧです。（図６）

上の図から、求める立体は四角形ＦＧＯＭを底面とする四角すいＥ-ＦＧＯＭとわかります。

立方体を右から見た図において、三角形ＯＢＭと三角形ＯＧＣは相似で、相似比が

ＢＭ：ＣＧ＝３㎝：６㎝＝１：２

ですから、ＭＯ：ＣＯ も １：２ です。

三角形ＢＭＯと三角形ＢＣＯは高さが等しく、底辺の比が１：２ですから、面積比も１：２です。

３㎝×６㎝÷２＝９㎠　…　三角形ＢＭＣの面積

９㎠×１/（１＋２）＝３㎠　…　三角形ＢＭＯの面積

６㎝×６㎝÷２＝１８㎠　…　三角形ＢＦＧの面積

１８㎠－３㎠＝１５㎠　…　四角形ＦＧＯＭの面積

四角すいＥ-ＦＧＯＭは底面ＦＧＯＭの面積が１５㎠、高さＥＦが６㎝ですから、体積は

１５㎠×６㎝÷３＝３０㎤

です。

答え　３０㎤

※ 三角すいＥ-ＢＦＧから三角すいＥ-ＢＭＯを除くと考えることもできます。

本問は、（１）と（２）がヒントになっている２回切断の問題です。

それぞれの小問でかいた見取り図と２回切断のきまりである「共有する点を結ぶ（２つの面が交わる直線を引く）」を使って（３）の見取り図がかけることを確認しましょう。

今回は、２０２５年度と２０２６年度に共学中で出された「切断」の問題をご紹介しました。

もし、直方体を切断する１問目、三角柱を切断する２問目を正解できないようでしたら、切断の問題の基本である立方体を切断する問題でおさらいをしましょう。

３問目の２回切断は応用レベルの問題ですので、切断を１回する問題をマスターした後に、挑戦すればよいと思います。