平成25年度 中学入試 スタート ～平成26年度に向けて ②～
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女子学院中学です。
昨日から東京、神奈川エリアの中学入試がはじまりました。
桜蔭中、海城中、駒場東邦中など、今日が合格発表の学校もたくさんあります。
これまでの努力が報われるといいですね！
さて今回も2013年度の灘中入試問題をとおして、
5年生のうちに身につけておきたいことをみていきましょう。
３…数の規則性
8桁の整数12345678に下のような操作を100回続けて行なってできる整数は□です。
操作 左から1，2，3，4，5，6，7，8番目の数字をそれぞれ左から2，4，6，8，1，3，5，7番目に移す。つまり、ABCDEFGHをEAFBGCHDにする。
問題文中に「100回」とありますから、「周期的な規則性の問題」だと予想できますね。
ということは「周期が見つかるまで書き出す」という方針も決まります。
はじめ 12345678
１回後 51627384
２回後 75318642
３回後 87654321
４回後 48372615
５回後 24681357
６回後 12345678
６回で元にもどることがわかりましたから、100回÷６回＝16周期あまり４回
→４回後と同じならび方になります。 48372615
これは「ループ」とよばれている問題です。
「○番目に移す」に着目すると、
１番目の数字→２番目の位置へ
２番目の数字→４番目の位置へ
４番目の数字→８番目の位置へ
８番目の数字→７番目の位置へ
７番目の数字→５番目の位置へ
５番目の数字→１番目の位置へ
というひとつの「６回で循環するグループ」がみつかります。
さらに
３番目の数字→６番目の位置へ
６番目の数字→３番目の位置へ
という「２回で循環するグループ」も見つかります。
すると100回÷６回＝16周期あまり４回 から、
１→７番目の位置へ
２→５番目の位置へ
４→１番目の位置へ
８→２番目の位置へ
７→４番目の位置へ
５→８番目の位置へ
に移ることがわかります。
３と６は、100回÷２回＝50周期 なので、元の位置のままです。
このような考え方のことを「ループ」といいます。
でも、この問題では「周期が見つかるまで書き出す」という
基本に忠実な解き方がわかりやすいですよね。
ところで「書き出す」とき、上のように「たて一列にならべていく」と
見やすくて間違いにくいと思いませんか？
見間違えないように書くという答案作成技術の大切さがわかる一問だと思います。
ノートに走り書きをする悪いクセがついているお子さんは、早めに修正しておきましょう。
４…数の性質
分母、分子がともに整数で、これ以上約分できない分数のうち、0.5より大きく0.51より小さいものをすべて考えます。ただし、ちょうど0.5または0.51になる分数は除きます。この中で、分母が100以下の分数は□個あります。
「分数の範囲」についての問題です。
この問題の基本形は
１/３より大きく、１/２より小さい分数のうち、分子が3である分数をすべて求めなさい。
といった問題などです。
この基本問題の場合ですと、「分子を３にそろえて考える」ように学びます。
通分の応用といえますね。
３/９＜３/□＜３/６ なので、□＝７，８です。つまり、３/７と３/８が答になります。
ですから、この４も同じように整理することができそうです。
１/２＜★/□＜51/100
この問題の難しいところは基本問題とちがって、
分子も分母もハッキリいくらと示されていないところにあります。
つまり、「自分で分子を指定しなさい」ということなんですね。
そこでまず、分子＝１の場合を考えます。
１/２＜１/□＜１/1.96…
すると、□にあてはまる整数がありません。
分子＝２の場合を考えても、
２/４＜1/□＜２/3.91…
となり、やはり□にあてはまる整数がありません。
ここで
「無理なんとちゃうん？」
とあきらめないください。
「２と1.96…の間」や「４と3.91…の間」に整数がないのはなぜでしょうか？
そうですね、分母の差が1より小さいからです。
ということは、どんな分子のときに初めて差が１以上になるかを考えればよいわけです。
1.96…や3.91…と「小数」で表すと気づきにくいのですが、これを分数に変えてみると
２と100/51の差は２/51、４と200/51の差は４/51、６と300/51の差は６/51…のように、
分子を２倍、３倍…すると、差も２/51の２倍、３倍…となっていきます。
１÷２/51＝25.5倍 →26倍すると差が初めて１より大きくなります。
つまり、26/52＜26/□＜26/50.98… なので、26/51が見つかります。
ということは、差が２より大きくなると□に当てはまる整数も２つになりますからに、
分母の差が２より大きくなるときも調べなければいけません。
２÷２/51＝51倍 →51倍すると差が初めて２になります。
つまり、51/102＜51/□＜51/100 なので、51/101が見つかります。
おっと、分母が100をこえてしまいました！
ですから、50倍までしかできません。
つまり、50/100＜50/□＜50/98.03… なので、50/99が見つかります。
分子が26から50まで、今と同じような計算をすると、
ある分子１個について□にあてはまる整数が１個だけあることになりますから、
50－25＝25個 がこの問題の答です。
「もし25個の中に約分ができる分数があったら…？」
という心配が頭をかすめたかもしれませんが、
答となった分数の分母は99以下ですから、
約分すれば当然100以下なので大丈夫ですね。
この問題は受験生にとって難しく見えた問題のひとつだったと思います。
「分数の範囲」問題を、機械的な作業問題としてこなしてきたお子さんは
特にそうだったのではないでしょうか？
問題演習を機械的にこなすことは、「問題を解くスピードをつける」という点で重要です。
だからこそ、「スピード演習に入る前＝基本問題を学ぶとき」に、
「なぜそのような解き方になるのか？」を十分に理解しておくことが大切になります。
問題の意味を理解できていれば、この４でも焦らずにすむからです。
スピード演習は６年生になると学習の半分以上を占めてきます。
ですから、５年生の学習時に「問題の意味を理解してから問題の解法を覚える」
という手順がポイントだと思います。
＜家庭学習のポイント＞
1.「書き出し」の問題では、見やすくなるように書く練習をしてみよう！
2.「解法の意味」は、基本問題で理解を深めよう！
