第187回　「筑波大学附属駒場中　2014年」2





今回からも前回に続き、
「筑波大学附属駒場中　2014年」の問題研究　第2回です。


例年、70％程度の得点が必要と思われるテストです。
前回見ました2014年の大問1は、「サービス問題」でした。


大問2はどうだったのでしょうか？




大問2　下の図は、それぞれ同じ大きさの正六角形をすき間なくかいたものです。各図において、点A、Bは正六角形の頂点で、点P、Qは、AとBを結ぶまっすぐな線と正六角形の辺との交わった点です。なお、正六角形の大きさは、各図でちがいます。次の(1)、(2)、(3)の各図について、ABの長さが30cmのとき、APとPQの長さをそれぞれ求めなさい。

(1)





(2)





(3)









平面図形の問題です。


問題図が似ていますから、
「もしかすると解法は共通？
じゃあ、(1)を丁寧に考えれば(2)や(3)のヒントになるかも…」
という発想ができるようになれば、
誘導形式の問題の練習もかなりできてきた証拠です。


さて、正六角形で長さの比がわかるということは、
次のような図の場合です。





まずは、これを問題図に書き込んで考えてみましょう。


(1)





図から、AP：PB＝1：2　なので、
AP＝AB×1/3＝30cm×1/3＝10cmとわかります。

点Qは下の図のように点対称図形の中心なので





AQ＝15cm　ですから、PQ＝AQ－AP＝15cm－10cm＝5cmです。


(1)から、
「等間隔に並んでいること」を利用して解く問題のようだ
と見当がつきます。


(2)
点Qの位置は(1)で使った「等間隔」を利用すると、





AQ：QB＝3：2　とすぐにわかりますので、
AQ＝AB×3/5＝30cm×3/5＝18cm　です。


APは一見、上手くいかないように見えるのですが、
正六角形を規則的に並べるとたて横以外に、
斜めにも等間隔に並んでいることを利用します。





AP＝AB×1/4＝30cm×1/4＝7.5cmですから、
PQ＝AQ－AP＝18cm－7.5cm＝10.5cmと求められます。


どの頂点とどの頂点が一直線上に並んでいるかという知識は、
正六角形を自分で書いたり、
規則的に並んだ問題の演習を解いたりすると、
身についていきます。


(3)もAPの長さは簡単です。





AP＝AB×1/5＝30cm×1/5＝6cmです。

AQも(2)と同じように、三角形の相似が使えます。





AQ＝AB×3/7＝30cm×3/7＝12 6/7cm　ですから、
PQ＝AQ－AP＝12 6/7cm－6cm＝6 6/7cmです。




「どの頂点とどの頂点が一直線上に並んでいるか」
に気づくことができれば、
この大問2も全問正解できる問題です。


筑波大学附属駒場中を受験するレベルであれば、
正六角形を敷きつめた問題も演習していることでしょうから、
「どの頂点とどの頂点が一直線上に並んでいるか」に気づくことも
容易だったと思われます。


2014年度は大問1、2では差がつかないため、
次回はポイントになりそうな大問3を見る予定です。