「第356回　立体図形の苦手克服術 7」


前回は、平面、切断の3原則を使いこなす問題として、
2回切断の基本レベルを取り扱いました。


今回は、少し難しい「2回切断」がテーマです。


2回切断の難しい問題の入門編として、次のような問題があります。




問題　右の図のような立方体ADCD-EFGHがあります。この立方体を3点A、C、Fを通る平面と3点B、D、Gを通る平面で切ったとき、点Eを含む立体の体積と立方体ADCD-EFGHの体積の比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。















2回切断の定番問題です。


「切断の3原則」を用いて、2つの切断面を作図します。




図より、2つの切断面が交わっていることがわかりますから、
「2回切断」の基本通り、2つの面の交点を結ぶと、
点Eを含む立体が作図できます。




図を見ると、
点Eを含む立体の体積を直接求めるよりも
取りさられた2つの三角すいに着目する方が、
計算が簡単だとわかります。


→17：24　







「2回切断」では必ず練習する問題ですが、
この切断を「2回繰り返す」と、
過去に灘中などで出題されたことのある難問になります。








問題　右の図のような立方体ADCD-EFGHがあります。この立方体を3点A、C、Fを通る平面、3点B、D、Gを通る平面、3点A、C、Hを通る平面、3点B、D、Eを通る平面で切ったとき、面EFGHを含む立体の体積と立方体ADCD-EFGHの体積の比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。














定番問題の図に切断面を追加してもよいのですが、
上手く描かないと「ぐじゃぐじゃ」になってしまいます。


そこで、2つの切断面の交点だけを先に描いてみます。




すると、4つの交線は
それぞれ立方体の面（正方形）の真ん中と結ばれていることがわかり、
求める立体を比較的楽に作図することができます。




この立体の体積は
底面EFGHと平行な面で上下に分割すると求めやすくなります。




上下をそれぞれ求める方法もありますが、
ここでは「等積移動」を用いtてみます。



→1：2　





同じような切断を繰り返すだけですが、
作図が難しく、また体積も求めにくい難問だといえるでしょう。


もしこの問題を練習したことがある場合は、
次の問題で、習得度を測ってみることも可能です。






2017年度　久留米大学附設中　入学試験問題　①算数より　

問題5　右図の立方体ABCD-EFGHで、辺AE、辺BF、辺CG、辺DHの中点をそれぞれI、J、K、Lとします。この立体を、3点A、J、Gを通る平面で切ります。さらに3点C、L、Eを通る平面で切り、面EFGHを含むほうの立体を考えます。この立体を、さらに3点B、K、Hを通る平面と3点D、I、Fを通る平面で切ります。この立体の体積は、もとの立方体の体積の何倍ですか。（一部改題）












先ほど同様に、4つの切断面を別々に作図します。




次に、交わる2つの切断面の交線を描くと、求める立体が作図できます。








元の立体が直方体にみえてしまうことや
求める立体の高さが低いことから作図も難しいのですが、
考え方は前問と同じです。




立体図形の作図には、
・順に描き加えていく
・分解した図を組み合わせる
の2つの方法があります。




1問目は順に描き加えることで「重なり」に気づくことができますし、
4つの切断面がでてくる残りの2問は、
2つの切断面ごとに作図をし、
それらをひとつにまとめることで求める立体の形がわかります。


「2回切断」は難しい問題ですが、
この2つの作図方法を使い分けることで正答率を上げられるといいですね。