「第６６７回　共学中の入試問題　数と計算 ４」

近年の共学中の入試問題で出された「数と計算」の問題について考えています。

今回は「数の規則性」がテーマの問題を見ていきます。

１問目は、基本レベルの問題です。

【問題】７を２０２３個かけたときの一の位の数は何ですか。

（三田国際中学校　２０２３年　問題１－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

整数をかけたときの積の一の位の数は、（かけられる数の一の位の数）×（かける数の一の位の数）の一の位の数と同じであることを利用します。

７を１個かける　→　７

７を２個かける　→　７×７＝４９

７を３個かける　→　（４９の一の位の９）×７＝６３

７を４個かける　→　（６３の一の位の３）×７＝２１

７を５個かける　→　（２１の一の位の１）×７＝７

７を６個かける　→　７×７＝４９

のように、一の位の数は「７→９→３→１」の４個を１セットとして繰り返します。

２０２３個÷４個＝５０５セットあまり３個

ですから、７を２０２３個かけたときの一の位の数は、７を３個かけたときの一の位の数と同じです。

答え　３

本問は、同じ数をかけ続けたときの規則性が確認できる問題です。

一の位だけに着目することがポイントです。

２問目は、大問形式の問題です。

【問題】Ａ☆ＢはＡをＢ個かけた数を表します。例えば、

３☆２＝３×３＝９

６☆１＝６

となります。ただし、ＡとＢには０より大きい整数が入るものとします。

① （１２☆２）＋（１３☆２）を計算しなさい。

② ２☆１０の一の位の数を求めなさい。

③ ３☆Ｎの一の位の数が３になるような整数Ｎは、１以上１００以下に何個ありますか。

（東京農業大学第一高等学校中等部　２０２３年　問題２－（２））

【考え方】

①

１２☆２＝１２×１２＝１４４

１３☆２＝１３×１３＝１６９

１４４＋１６９＝３１３

答え　３１３

②

１問目と同じように、一の位の数だけに着目します。

「２→４→８→６」の４個１セットを繰り返すことがわかります。

１０個÷４個＝２セットあまり２個

２を２個かけたときの一の位の数は４です。

答え　４

③

Ｎ＝１のときから順に調べると積の一の位の数は「３→９→７→１」の４個１セットを繰り返すことがわかります。

よって、３☆Ｎの一の位の数が３となるのは、３をかけた個数 Ｎ＝１、５、９、…のときです。

これは、初項１、公差４の等差数列です。

１＋４×（□番目－１）＝１００

□番目＝（１００－１）÷４＋１＝２５.７５

ですから、□は１以上２５以下の整数なので２５個あります。

答え　２５個

本問は、１問目と同じ考え方で解く大問形式の問題です。

小問③では、Ｎがかける３の個数を表していること、等差数列があることの２点に注意して解きましょう。

３問目は、素数を使った問題です。

【問題】１とその数以外に約数をもたない数を素数といいます。例えば、３の約数は１と３なので、３は素数です。４の約数は１と２と４なので、４は素数ではありません。また、１は素数ではありません。次の問いに答えなさい。

（１）２けたの素数で一番小さい数はいくつですか。

１番目の数を４として、その数の約数のうち一番大きい素数をその数に加えて次の数をつくって並べていきます。４の約数は１と２と４で、その中で一番大きい素数は２なので。２番目の数は４＋２＝６で６となります。６の約数は１と２と３と６で、その中で一番大きい素数は３なので。３番目の数は６＋３＝９で９となります。このようにして次々と数をつくって並べていくと下のようになります。

４、６、９、１２、１５、２０、…

この数の並びをＡとします。次の問いに答えなさい。

（２）Ａの１０番目の数はいくつですか。

（３）Ａにある数で、２つの素数をかけてできる一番大きい２けたの数はいくつですか。

（４）Ａにある数で、一番小さい２３の倍数はいくつですか。

（５）Ａにある数で、２５００に一番近い数はいくつですか。

（國學院久我山中学校　２０２４年　問題３）

【考え方】

（１）

１０の約数は１、２、５、１０なので、１０は素数ではありません。

１１の約数は１と１１なので、１１は素数です。

答え　１１

（２）

きまりに従って、数を作っていきます。

答え　４２

（３）

（２）の表の続きを調べます。

答え　７７

（４）

（３）の表より、

一番小さい３の倍数は ２×３＝６

一番小さい５の倍数は ３×５＝１５

一番小さい７の倍数は ５×７＝３５

一番小さい１１の倍数は ７×１１＝７７

のように、一番小さい□の倍数（□は素数）は、（□より１つ前の素数）×□ とわかります。

１９×２３＝４３７

答え　４３７

（５）

（４）でわかったことを利用して、一番小さい□の倍数（□は素数）を調べます。

２３×２９＝６６７

２９×３１＝８９９

３１×３７＝１１４７

３７×４１＝１５１７

４１×４３＝１７６３

４３×４７＝２０２１

４７×５３＝２４９１

２４９１の約数の中で最も大きい素数は５３ですから、２４９１の次に並ぶ数は

２４９１＋５３＝２５４４

です。

よって、２５００に一番近い数は２４９１です。

答え　２４９１

本問は、表に整理すると規則性の見つけやすくなることが確認できる問題です。

前半の小問で行う作業が、後半の小問を解くヒント（誘導）となっています。

なお、（５）では「２５００＝５０×５０ なので、５０前後の素数を調べる」という方針が立てられるとベターです。

今回は、２０２３年度、２０２４年度の共学中の入試で出された「数の規則性」に関する問題をご紹介しました。

１、２問目は繰り返しを利用する定番の問題です。

また、３問目では、初見の問題を解くときは問題の誘導と表などを利用するという考え方が確認できます。

どれも大切な問題ですので、知識や考え方に不足が見つかったときは、類題演習で補強をしておきましょう。