「第７８６回　共学中の入試問題　場合の数 ２」

前回から、近年に共学中の入試で出された「場合の数」について考えています。

２回目の今回は「じゃんけん」と「数作り」の問題を見ていきます。

１問目はじゃんけんの問題です。

【問題】次の［　］にあてはまる数を求めなさい。

Ａさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさんの４人が１回じゃんけんをするとき、あいこになる手の出し方は［　］通りあります。

（中央大学附属横浜中学校　２０２５年　第1回　問題１－（８）　問題文一部変更）

【考え方】

４人がじゃんけんをして勝負がつく場合は、４人が同じ手を出す場合、２人が同じ手を出す場合の２つの場合があります。

・４人が同じ手を出す場合

４人ともがグー、４人ともがチョキ、４人ともがパーの３通りです。

・２人が同じ手を出す場合

ＡさんとＢさんがグーを出すとき、ＣさんとＤさんの手の出し方は（Ｃさん、Ｄさん）＝（チョキ、パー）、（パー、チョキ）の２通りがあります。

ＡさんとＢさんがチョキを出すときも、ＡさんとＢさんがパーを出すときも、ＣさんとＤさんの手の出し方はそれぞれ２通りがありますから、ＡさんとＢさんが同じ手を出すときの場合の数は

２通り×３＝６通り

です。

ＡさんとＣさんが同じ手を出す場合、ＡさんとＤさんが同じ手を出す場合、ＢさんとＣさんが同じ手を出す場合、ＢさんとＤさんが同じ手を出す場合、ＣさんとＤさんが同じ手を出す場合も６通りずつあります。

よって、２人が同じ手を出す場合の数は全部で

６通り×６＝３６通り

です。

３通り＋３６通り＝３９通り

答え　３９通り

本問は、どのようなときに「あいこ」になるかを考える問題です。

「４人全員が異なる手」や「３人が同じ手」などの場合がないことに注意します。

なお、次のように、すべての場合の数から勝負がつく場合を除くという解き方もあります。

（別解）

じゃんけんをして勝負がつく場合は、１人だけが勝つ、２人が勝つ、３人が勝つの３つの場合があります。

・１人だけが勝つとき

Ａさんだけが勝つとき、Ａさんと他の３人の手の出し方は、（Ａさん、他の３人）＝（グー、チョキ）、（チョキ、パー）、（パー、グー）の３通りがあります。

Ｂさんだけが勝つとき、Ｃさんだけが勝つとき、Ｄさんだけが勝つときも同様に３通りずつありますから、１人だけが勝つときの手の出し方は全部で

３通り×４＝１２通り

あります。

・２人が勝つとき

ＡさんとＢさんが勝つとき、勝つ２人と負ける２人の手の出し方は、（ＡさんとＢさん、他の２人）＝（グー、チョキ）、（チョキ、パー）、（パー、グー）の３通りです。

４人の中から勝つ２人の選び方は

４通り×３通り÷２＝６通り

ありますから、２人が勝つときの手の出し方は全部で

３通り×６＝１８通り

あります。

・３人が勝つとき

１人だけが負ける場合ですから、１人だけが勝つ場合と同じように考えることができるので１２通りあります。

よって、じゃんけんをして勝負がつく場合の数は

１２通り＋１８通り＋１２通り＝４２通り

です。

じゃんけんの手の出し方は３通りありますから、４人の手の出し方は全部で

３通り×３通り×３通り×３通り＝８１通り

です。

８１通り－４２通り＝３９通り

２問目は、３の倍数を作る問題です。

【問題】次の問いに答えなさい。

（１） １、２、３、４、５の数字が１つずつ書かれた５枚のカードから３枚を選んで並べて３けたの整数をつくるとき、３の倍数は全部で何通りつくれますか。

（２） ０、１、２、３、４、５の数字が１つずつ書かれた６枚のカードから３枚を選んで並べて３けたの整数をつくるとき、３の倍数は全部で何通りつくれますか。

（法政大学中学校　２０２６年　第１回　問題３）

【考え方】

（１）

「３の倍数」という条件に着目します。

３の倍数は各位の数の和も３の倍数ですから、和が３の倍数になるように３枚のカードを選びます。

・和が６のとき

（１、２、３）… 百の位の数が１または２または３の３通り、十の位の数が百の位の数以外の２通り、一の位の数が残りの１通りのように選べますから、３枚のカードの並べ方は

３通り×２通り×１通り＝６通り

です。

・和が９のとき

（１、３、５）… （１、２、３）と同じように、３枚のカードの並べ方は

３通り×２通り×１通り＝６通り

あります。

（２、３、４）… 同様に、３枚のカードの並べ方は６通りです。

・和が１２のとき

（３、４、５）… 百の位の数が３通り、十の位の数が百の位の数以外の２通り、一の位の数が残りの１通りのように選べますから、３枚のカードの並べ方は

３通り×２通り×１通り＝６通り

です。よって、全部で

６通り×４＝２４通り

の３の倍数を作れます。

答え　２４通り

（２）

（１）と同じように、各位の和が３の倍数となるように、３枚のカードを選びます。

３枚のカードの中に「０」を含まない選び方を（１）で調べていますので、３枚のカードの中に「０」を必ず含むような選び方について考えます。

・和が３のとき

（０、１、２）… 百の位の数が０以外の２通り、十の位の数が百の位の数以外の２通り、一の位の数が残りの１通りのように選べますから、３枚のカードの並べ方は

２通り×２通り×１通り＝４通り

です。

・和が６のとき

（０、１、５）… 百の位の数が０以外の２通り、十の位の数が百の位の数以外の２通り、一の位の数が残りの１通りのように選べますから、３枚のカードの並べ方は

２通り×２通り×１通り＝４通り

です。

（０、２、４）…（０、１、５）と同じように、３枚のカードの並べ方は

２通り×２通り×１通り＝４通り

です。

・和が９のとき（０、４、５）… 百の位の数が０以外の２通り、十の位の数が百の位の数以外の２通り、一の位の数が残りの１通りのように選べますから、３枚のカードの並べ方は

２通り×２通り×１通り＝４通り

です。

よって、「０」を必ず含む３けたの３の倍数は

４通り×４＝１６通り

作れます。

２４通り＋１６通り＝４０通り

答え　４０通り

本問は、（１）で「０」を含まない場合、（２）で「０」を含む場合となっており、「０」に関する場合分けの考え方を確認することができる問題です。

最後は偶数を作る問題です。

【問題】大小２個のさいころを投げるとき、出る目の数の積が偶数になる場合の数は何通りありますか。

（広尾学園中学校　２０２５年　第１回　問題１－（３））

【考え方】

「２つの整数の積が奇数になるのは（奇数）×（奇数）の場合だけ」であることを利用できます。

大小２個のさいころを投げて、さいころ大の出た目の数が１、３、５、さいころ小の出た目の数も１、３、５のとき、目の数の積が奇数になります。

３通り×３通り＝９通り　…　積が奇数になる目の出方

また、大小２個のさいころを投げたときの目の出方は、さいころ大が６通り、さいころ小も６通りです。

６通り×６通り＝３６通り　…　すべての目の出方

ですから、出る目の数の積が偶数になる場合の数は

３６通り－９通り＝２７通り

あります。

答え　２７通り

本問は、すべての場合の数から条件にあてはまらない場合の数を除く、「余事象」といわれる考え方を利用できる問題です。

偶数となる場合を順に求めて正解しているときは、この余事象の考え方も確認しましょう。

今回は、２０２５年度と２０２６年度に共学中の入試で出された「じゃんけん」と「数作り」の問題をご紹介しました。

「場合分け」をして考えることは１問目や２問目のように大切なポイントになりますし、「余事象」も利用できると調べる量を減らすことができる便利な考え方です。

すべてを書き出す解き方ができるようになれば、前回ご紹介したような「かけ算の利用」、そして今回見てきた「場合分け」などを利用して、工夫した解き方を少しずつ身につけていきましょう。