「第７８７回　共学中の入試問題　場合の数 ３」

ここまで、近年に共学中の入試で出された「場合の数」の問題を取り扱ってきています。

その最後となる今回は「支払」と「図形の個数」の問題を見ていきます。

１問目は「支払い方」の問題です。

【問題】５００円硬貨、１００円硬貨、５０円硬貨がたくさんあります。これらの硬貨を使って１６００円を支払う方法は何通りありますか。ただし、使わない硬貨があってもよいものとします。

（早稲田実業学校中等部　２０２５年　問題１－（３））

【考え方】

１６００円を支払うとき、５００円硬貨の使われる枚数が最も少ないので、５００円硬貨の枚数で場合分けをします。

・５００円硬貨を３枚使うとき

１６００円－５００円×３枚＝１００円　…　５００円硬貨で支払った残金　

１００円の支払い方には、１００円硬貨を１枚使う、０枚使う（＝１枚も使わない）の２通りがあります。

・５００円硬貨を２枚使うとき

１６００円－５００円×２枚＝６００円　…　５００円硬貨で支払った残金

１００円の支払い方には、１００円硬貨を６枚使う、５枚使う、４枚使う、３枚使う、２枚使う、１枚使う、０枚使う（＝１枚も使わない）の７通りがあります。

５００円硬貨を使う枚数が１枚のとき、０枚のときも同じように考え、それらを表に整理すると次のようになります。

６００円の支払い方は、１００円硬貨の支払い方に着目すると、

２通り＋７通り＋１２通り＋１７通り＝３８通り

とわかります。

答え　３８通り

本問は、「支払い方の問題」の考え方を確認できる問題です。

５０円硬貨の支払い方が使う５００円硬貨と１００円硬貨の１つの組み合わせに１通りだけあることに着目して、５００円硬貨と１００円硬貨の組み合わせだけを調べることがポイントになっている問題です。

２問目は「支払える金額」の問題です。

【問題】１０円玉２枚、５０円玉２枚、１００円玉３枚の一部または全部を使って、ちょうど支払うことができる金額は何通りありますか。ただし１００円玉１枚でも、５０円玉２枚でも１００円を支払えますが、これは１通りと考えます。

（法政大学第二中学校　２０２５年　第一回　問題２－（６））

【考え方】

「１００円玉１枚でも、５０円玉２枚でも１００円を支払えますが、これは１通りと考えます」という条件については、１００円玉をすべて５０円玉に両替しておくと、例えば、１００円の支払い方は「５０円玉２枚」だけとなるように、ある金額の支払い方を１通りにできます。

１００円×３枚÷５０円＋２枚＝８枚　→　両替後の５０円玉の枚数は８枚です。

５０円玉の使い方は０～８枚の９通り、１０円玉の使い方は０～２枚の３通りなので、「支払い方」＝「支払える金額」は

９通り×３通り＝２７通り

と計算できます。

しかし、この２７通りの中には「５０円玉０枚と１０円玉０枚（＝０円）」の１通りが含まれていますから、支払うことができる１円以上の金額はこの１通りを除いた

２７通り－１通り＝２６通り

です。

答え　２６通り

１問目の「支払い方」と２問目の「支払える金額」は問題文が似ているために、勘違いをすることもあります。

条件と求めるものを正しく読んで、適した解き方を選択しましょう。

３問目は「三角形作り」の問題です。

【問題】次の［　］をうめなさい。

下の図のように２本の直線の上に合計１０個の点があります。この中から異なる３個の点を選び、それらを結んで三角形を作ります。三角形は全部で［　］個できます。

（青山学院横浜英和中学校　２０２５年　Ａ日程　問題３－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

１０個の点を①、②、③、…、⑩とします。

例えば、①と②と⑦を選び、それらを並べる場合を考えます。

１番目に並べる点は①、②、⑦のいずれかですから３通りあり、２番目に並べる点は１番目に並べた残りの２通り、３番目に並べる点は最後の１通りですから、

３通り×２通り×１通り＝６通り

の並べ方がありますが、選んだ①、②、⑦をどの順番で並べても、できる三角形は「三角形①②⑦」の１種類です。

つまり、１通りの選び方に対して、６通りの並べ方があります。

よって、１０個の点の中から異なる３個の点の並べ方が、１番目に並べる点が①～⑩のいずれか１つの１０通り、２番目に並べる点が１番目に並べた残りの９通り、３番目に並べる点が最後の８通りなので

１０通り×９通り×８通り＝７２０通り

ですから、１０個の点の中から異なる３つの点の選び方は

７２０通り÷６＝１２０通り

です。

しかし、この１２０通りの中には、次の図のように、「同じ直線上の３点を選ぶ」＝「三角形にならない」場合も含まれています。

このように、１０個の点中から異なる３個の点を選んでも三角形ができない場合は、①～⑥の中から３点を選ぶ場合の

６通り×５通り×４通り÷６＝２０通り

と、⑦～⑩の中から３点を選ぶ場合の

４通り×３通り×２通り÷６＝４通り

があります。

２０通り＋４通り＝２４通り　…　三角形ができない３点の選び方

以上から、１０個の点の中から異なる３個の点を選び、それらを結んで三角形を作るとき、全部で

１２０個－２４個＝９６個

の三角形ができます。

答え　９６

本問は、「組み合わせ」の計算と「余事象」を利用できる問題です。

樹形図などで書き出しをしているときは、解答例のような計算方法も確認しましょう。

４問目も「三角形作り」の問題です。

【問題】下の図のような正八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨがあります。８個ある頂点のうち、３個の頂点を結んで三角形をつくるとき、次の問いに答えなさい。

（１） 三角形は全部で何個つくることができますか。

（２） 直角三角形は全部で何個つくることができますか。

（法政大学中学校　２０２５年　第１回　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃを選んだとき、その並べ方によって

△ＡＢＣ、△ＡＣＢ、△ＢＡＣ、△ＢＣＡ、△ＣＡＢ、△ＣＢＡ

の６通りの表し方がありますが、どれも同じ三角形です。

ですから、８個ある頂点のうち、３個の頂点を結んで三角形をつくるとき、三角形の１番目の頂点の選び方が８通り、２番目の頂点の選び方が７通り、３番目の頂点の選び方が６通りあるので、作ることのできる三角形は

８通り×７通り×６通り÷６＝５６通り

です。

答え　５６個

（２）

円の直径の両端と円周上の点を結ぶと直角三角形ができることと、正八角形が円にピッタリ入ることを利用します。

上の図のように、対角線ＣＧを直角三角形の一番長い辺とすると、３つ目の頂点の選び方はＡ、Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｈの６通りがあります。

ＣＧと同様の対角線は全部で４本ありますから、直角三角形は全部で

６個×４本＝２４個

できます。

答え　２４個

本問の（１）は前問と同じように考えることができます。

（２）は直径と直角三角形の関係の知識を利用します。

もし、直径と直角三角形の関係を忘れていたときは、この機会に覚え直しましょう。

最後は「四角形作り」の問題です。

【問題】次の［　］に当てはまる数を答えなさい。

下の図の中に四角形は［　］個あります。

（広尾学園小石川中学校　２０２５年　第１回　問題１－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

大小の正方形や長方形を大きさごとに数えることもできますが、ここでは「選び方」の計算方法を利用していきます。

図形の縦線を①～④、横線を⑤～⑧とします。

四角形は２本の縦線と２本の横線に囲まれた図形ですから、①～④の４本の縦線の中から２本の縦線を、⑤～⑧の４本の横線の中から２本の横線を選べば、四角形を１個作れます。

①～④の中から２本の縦線を選ぶ場合の数が

４通り×３通り÷２＝６通り、

⑤～⑧の中から２本の横線を選ぶ場合も

４通り×３通り÷２＝６通り

ですから、

６通り×６通り＝３６通り

の四角形を作ることができます。

答え　３６

本問はで「四角形が何個あるか」と聞かれていますが、「作ることができる四角形の個数は何個ですか」に置き換えると、「選び方」の計算方法を使って解くことができます。

大小の正方形や長方形で場合分けをしているようでしたら、計算を利用する解き方も確認しましょう。

今回は、２０２５年度に共学中の入試で出された「支払」と「図形の個数」の問題をご紹介しました。

これらの問題の中には、今回のように計算を利用して解くことができる問題もあります。

書き出しで正解できるようになれば、条件に応じた計算解法も身につけて、答えをだすまでの時間を短縮できるといいですね。