「第７８９回　男子中の入試問題　数の性質 １」

前回より、２０２６年度の男子中の入試問題を取り扱っています。

今回は「数の性質」の中から、「約数と倍数」の問題を見ていきます。

１問目は、最大公約数と最小公倍数の問題です。

【問題】２つの整数ア、イについて、ア△イはアとイの最大公約数、ア▼イはアとイの最小公倍数を表すものとします。たとえば、１２△１８＝６、６▼１５＝３０となります。次の問いに答えなさい。

１） （１０８△１８０）▼１２６はいくつですか。

２） ア△１５０＝２５となるとき、アにあてはまる整数の中で、１５０より大きい数のうち、もっとも小さい数はいくつですか。

（立教池袋中学校　２０２６年　第１回　問題２）

【考え方】

１）

「すだれ算」を用いて、最大公約数や最小公倍数を求めることができます。

１０８△１８０＝３６

３６▼１２６＝２５２

答え　２５２

２）

２５＝５×５ですから、条件は次のような「すだれ算」に表せます。

アは「１５０より大きい数」という条件がありますから、ウは６より大きい数です。

また、「最も小さい数」という条件もありますので、ウ＝７と決まります。

よって、

イ＝７×５＝３５

ア＝３５×５＝１７５

です。

答え　１７５

本問は、最大公約数や最小公倍数の求め方を確認できる基本問題です。

正解できないときは、「すだれ算」が利用できることを確認しましょう。

２問目は、公約数と公倍数の問題です。

【問題】３３/６５をかけても、２６/６３で割っても、ともに１以上の整数となるような数のうち、最も小さい数を求めなさい。

（明治大学付属中野中学校　２０２６年　第１回　問題２－（１））

【考え方】

求める数を Ｂ/Ａ として、条件を式に表します。

（ア）において、Ａは「３３によって消される（約分されて１になる）」数ですから、３３の約数です。

また、Ｂは「６５を消す（約分して１にする）」数ですから、６５の倍数です。

さらに、（イ）において、Ａは６３によって消されますから６３の約数、Ｂは２６を消しますから２６の倍数です。

よって、Ａは３３と６３の公約数、Ｂは６５と２６の公倍数とわかります。

「公約数は最大公約数の約数」なので、Ａは３の約数である１または３です。

また、「公倍数は最大公倍数の倍数」なので、Ｂは１３０の倍数である１３０、２６０、… です。

このうち、求める数 Ｂ/Ａ が「最も小さい数」となるのは、分母が最大公約数である３、分子が最小公倍数である１３０の場合です。

答え　１３０/３（４３ １/３）

本問は、約数と倍数の定番問題です。

正解できないようでしたら、問題の条件が式に表せることを確認しましょう。

３問目は、倍数の特徴（倍数判定法）についての問題です。

【問題】次の問いの（　　）をうめなさい。

以下の★、■、▲には０～９の数字がそれぞれ１つ入ります。同じ記号には同じ数字が入るものとします。

（１） ６けたの整数５★２３１★が３の倍数になるとき、★にあてはまる数字は（　　）個あります。

（２） ６けたの整数５■２３１▲が３の倍数になるとき、■と▲にあてはまる数字の組み合わせは（　　）組あります。ただし、■と▲に同じ数字が入ってもよいものとします。

（３） ６けたの整数５★２３１★が７の倍数になるとき、★にあてはまる数字を求めるため、７×１１×１３＝１００１を利用して考えると、

と変形することができます。よって、★にあてはまる数字は（　　）個あります。

（４） ６けたの整数５■２３１▲が１３の倍数になるとき、■と▲にあてはまる数字の組み合わせは（　　）組あります。ただし、■と▲に同じ数字が入ってもよいものとします。

（芝中学校　２０２６年　１回　問題４　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

３の倍数は各位の数の和も３の倍数です。

５＋★＋２＋３＋１＋★＝（３の倍数）　→　１１＋★×２＝（３の倍数）

ですから、

★×２＝１、４、７、１０、１３、１６、１９、…

となりますが、★は「０～９の数字」なので、

★×２＝４　→　★＝２

★×２＝１０　→　★＝５

★×２＝１６　→　★＝８

の３個です。

答え　３

（別解）

「５＋★＋２＋３＋１＋★（＝１１＋★×２）」を３で割ったときの余りが０になれば「５＋★＋２＋３＋１＋★」が３の倍数となることを利用すると、１１を３で割った余りが２なので、★×２を３で割った余りは１です。

★が９以下の整数なので、「★×２は１８以下の３で割ると１余る２の倍数」といえますから、

★×２＝４、１０、１６　→　★＝２、５、８

の３個です。

（２）

（１）より、

１１＋■＋▲＝（３の倍数）　→　■＋▲＝１、４、７、１０、１３、１６

です。

・■＋▲＝１のとき

（■、▲）＝（０、１）、（１、０）…２組

・■＋▲＝４のとき

（■、▲）＝（０、４）～（４、０）…５組

・■＋▲＝７のとき

（■、▲）＝（０、７）～（７、０）…８組

・■＋▲＝１０のとき

（■、▲）＝（１、９）～（９、１）…９組

・■＋▲＝１３のとき

（■、▲）＝（４、９）～（９、４）…６組

・■＋▲＝１６のとき

（■、▲）＝（７、９）～（９、７）…３組

２組＋５組＋８組＋９組＋６組＋３組＝３３組

答え　３３

（別解）

「１１＋■＋▲」を３で割ったときの余りが０になれば、「１１＋■＋▲」も３の倍数となります。

１１を３で割った余りが２なので、■＋▲を３で割った余りは１です。

・■を３で割った余りが０のとき

■は０、３、６、９の４通りがあり、それぞれについて▲は３で割った余りが１になる１、４、７の３通りがあります。　→　４通り×３通り＝１２通り

・■を３で割った余りが１のとき

■は１、４、７の３通りがあり、それぞれについて▲は３で割った余りが０になる０、３、６、９の４通りがあります。　→　３通り×４通り＝１２通り

・■を３で割った余りが２のとき

■は２、５、８の３通りがあり、それぞれについて▲も３で割った余りが２になる２、５、８の３通りがあります。　→　３通り×３通り＝９通り

１２通り＋１２通り＋９通り＝３３通り

（３）

５★２３１★を変形した「５★２×１００１－（５★２－３１★）」は、次のように表せます。

ですから、５★２－３１★が７の倍数であれば、５★２３１★も７の倍数です。

ですから、★＝２、９の２個があります。

答え　２

（別解）

５★２－３１★の差が９ずつ増えますから、９と７の最小公倍数である６３を利用すると、２個目の★は２＋６３÷９＝９のように求めることもできます。

（４）

（３）の変形を利用できます。

（３）と同じように、線分図に表します。

ですから、５■２－３１▲が１３の倍数であれば、５■２３１▲も１３の倍数です。

さらに、５■２－３１▲は次のように変形できます。

■＝０、▲＝９のとき、

５０２－３１９＝１８３、

■＝９、▲＝０のとき、

５９２－３１０＝２８２

なので、５■２－３１▲は１８３以上２８２以下の１３の倍数です。

１８２÷１３＝１４　→　最も小さい１３の倍数は １３×１５＝１９５

２８２÷１３＝２１あまり９　→　最も大きい１３の倍数は １３×２１＝２７３

ですから、

２００＋１０×（■－１）＋２－▲＝１９５、２０８、…、２７３

となる■と▲の組み合わせを調べます。

表のように、（■、▲）＝（１、７）、（２、４）、（３、１）、（５、８）、（６、５）、（７、２）、（９、９）の７組があります。

答え　７

本問の（１）、（２）は３の倍数の特徴を利用する定番の問題、（３）、（４）は余りを利用する倍数の応用問題です。

（１）、（２）を正解できないようでしたら、倍数の特徴（倍数判定法）の基本問題を使って急いでおさらいをしましょう。

今回は、２０２６年度に男子中で出された「約数と倍数」の問題をご紹介しました。

１問目と２問目、３問目の（１）、（２）は既習範囲であれば正解したい問題です。

もし、できない問題があればできるだけ早急に復習をしましょう。

３問目の（３）、（４）は誘導形式となっていますが、式の変形やその利用方法が難しい応用レベルの問題です。

他の問題を正解できるときは、この応用レベルの問題にもチャレンジしてみてください。