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第731回 女子中の入試問題 数と計算 3
「第７３１回 女子中の入試問題 数と計算 ３」
近年の女子中の入試で出された問題の中から、「数と計算」について考えています。
今回は「倍数と約数」がテーマの問題を見ていきます。
１問目は倍数の問題です。
【問題】３２１や９８０のように十の位の数は一の位の数以上で、百の位の数は一の位の数と十の位の数の和以上になる３けたの整数を考えます。次の（ ア ）～（ エ ）にあてはまる数を求めなさい。
（１） 一の位の数が２である３けたの数は全部で（ ア ）通りある。また、それらを大きい順に並べたとき、２番目の数は（ イ ）である。
（２） ３けたの偶数は全部で（ ウ ）通りある。
（３） ３けたの４の倍数は全部で（ エ ）通りある。
（フェリス女学院中学校 ２０２５年 問題１－（１） 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
各位の数が９以下であることに注意して、表に整理します。
６通り＋５通り＋４通り＋３通り＋２通り＋１通り＝２１通り → ア＝２１
大きい数から順に並べると、９７２、９６２、９５２、…となるので、２番目の数は９６２です。 → イ＝９６２
答え ア ２１、イ ９６２
（２）
偶数という条件がありますから、一の位の数で場合分けをします。
一の位の数が０の場合
９通り＋９通り＋８通り＋ … ＋１通り＝５４通り
一の位の数が２の場合
（１）より２１通りあります。
一の位の数が４の場合
２通り＋１通り＝３通り
一の位の数が６の場合
十の位の数が６以上なので百の位の数が１２以上となりますから、条件にあてはまる偶数はありません。
５４通り＋２１通り＋３通り＝７８通り → ウ＝７８
答え ウ ７８
（３）
４の倍数は、その数の下２桁が４の倍数です。
９通り＋８通り＋６通り＋４通り＋２通り＋５通り＋３通り＋１通り＋２通り＝４０通り → エ＝４０
答え エ ４０
本問は、偶数、４の倍数の見つけ方を確認できる問題です。
各位の数の大きさの条件に注意して、正確に数えましょう。
２問目は「かけ算や割り算の答えが整数になる」問題です。
【問題】４けたの整数の中で、１.４をかけても１.４でわっても答えが整数になる最も小さい数はいくつですか。
（恵泉女学園中学校 第１回 ２０２５年 問題２－（４））
【考え方】
求める４けたの整数をＡとし、小数の１.４を分数の７/５に直した式で表します。
（ア）において、Ａは５と約分すると５が１になるような数ですから５の倍数です。
同様に、（イ）からＡが７の倍数とわかります。
従って、Ａは５と７の公倍数です。
公倍数は最小公倍数の倍数ですから、Ａは ３５×☆（☆は整数）のように表せます。
３５×☆＝１０００ とすると
☆＝１０００÷３５＝２８.５…
ですから、Ａが最小の４けたの整数となるのは ☆＝２９ のときです。
３５×２９＝１０１５
答え １０１５
本問は、計算の結果が整数になるときの考え方を確認できる問題です。
求める数Ａが「整数」となっている点に注意しましょう。
３問目も公倍数を利用する問題です。
【問題】次の□にあてはまる数を答えなさい。
３桁の整数のうち、９で割った余りが４となるような５の倍数は□個あります。
（品川女子学院中等部 算数１教科 ２０２５年 問題９）
【考え方】
９で割り切れる数は９の倍数ですから、９で割った余りが４となる数は（９の倍数＋４）と表せます。
上の表のように、９で割った余りが４となるような５の倍数のうち、最小の数は４０です。
（９の倍数＋４）は９ずつ大きくなり、５の倍数は５ずつ大きくなりますから、条件を満たす整数は最小の４０に、９と５の最小公倍数の４５を加えていった ８５、１３０、… の中にあります。
４０＋４５×■＝１００ とすると、
■＝（１００－４０）÷４５＝１.３…
４０＋４５×■＝９９９ とすると、
■＝（９９９－４０）÷４５＝２１.３…
となるので、■は２以上２１以下の整数とわかります。
ですから、３桁の（４０＋４５×■）は
２１－２＋１＝２０（個）
あります。
答え ２０
本問は、「最小の数＋公倍数＝求める数」を利用する問題です。
最小は調べる、公倍数は最小公倍数の倍数 という点を確認しましょう。
４問目は、最大公約数と最小公倍数に関する問題です。
【問題】最大公約数が７で最小公倍数が１００１となる２つの整数のうち、ともに２けたの整数となる組合わせを答えなさい。ただし、２つの整数は小さい順に解答欄に書きなさい。
（普連土学園中学校 １日午後算数 ２０２５年 問題９）
【考え方】
条件は「すだれ算」の形に整理できます。
７×Ａ’×Ｂ’＝１００１ → Ａ’×Ｂ’＝１００１÷７＝１４３＝１×１４３ または １１×１３
ＡとＢがともに２桁の整数という条件がありますから、あてはまるの
Ａ’×Ｂ’＝１１×１３
の１組です。
よって、
Ａ＝７×１１＝７７
Ｂ＝７×１３＝９１
です。
答え ７７と９１
本問は最大公約数と最小公倍数の関係を確認できる問題です。
最大公約数で割った商のＡ’とＢ’が互いに素（１以外の公約数を持たない）であることも確認しておきましょう。
最後は、文章題の問題です。
【問題】いくつかのアメと箱があります。すべてのアメを、同じ数ずつ箱に分けて入れていきます。１つの箱に１１個ずつ入れていくと、アメの入る最後の箱にはアメを１個しか入れることができずに、アメの入っていない空の箱が残りました。１つの箱に１０個ずつ入れていくと、アメの入る最後の箱にはアメを３個しか入れることができずに、このときもまた空の箱が残りました。１つの箱に９個ずつ入れていくと、すべての箱にアメを入れることができて、今度はアメが余りました。箱とアメの個数として考えられる、最も少ない数をそれぞれ答えなさい。
（浦和明の星女子中学校 第一回 ２０２５年 問題１－（６））
【考え方】
アメを１１個ずつ□箱に入れると１個余るときのアメの合計の個数は（１１×□＋１）個ですから、「１１の倍数より１個多い」と言えます。
同様に考えると、アメを１０個ずつ■箱に入れると３個余る場合のアメの合計の個数は「１０の倍数より３個多い」と言えます。
この２つの条件を満たす最小の個数が２３個、１１と１０の最小公倍数が１１０ですから、アメの合計の個数は（２３＋１１０×☆）個と表せます。
☆＝０のとき
２３個＋１１０個×０＝２３個 … アメの合計の個数
２３個÷１１個＝２箱あまり１個 → 箱は４箱以上
２３個÷１０個＝２箱あまり３個 → 箱は４箱以上
２３個÷９個＝２箱あまり５個 → 箱は２箱以下
３つの条件を満たす箱の個数がありませんから、☆＝０は不適当です。
☆＝１のとき
２３個＋１１０個×１＝１３３個 … アメの合計の個数
１３３個÷１１個＝１２箱あまり１個 → 箱は１４箱以上
１３３個÷１０個＝１３箱あまり３個 → 箱は１５箱以上
１３３個÷９個＝１４箱あまり７個 → 箱は１４箱以下
３つの条件を満たす箱の個数がありませんから、☆＝１は不適当です。
☆＝２のとき
２３個＋１１０個×２＝２４３個 … アメの合計の個数
２４３個÷１１個＝２２箱あまり１個 → 箱は２４箱以上
２４３個÷１０個＝２４箱あまり３個 → 箱は２６箱以上
２４３個÷９個＝２７箱 → 箱は２６箱以下
箱が２６箱のときに３つの条件を満たしますから、☆＝２は適します。
答え 箱 ２６箱、 アメ ２４３個
本問は、条件を「１１で割ると１余る → １１の倍数＋１」のように読み替える問題です。
空の箱の個数がわからないことから過不足算ではないと考えられることがポイントになっています。
さらに、「空の箱ができる」、「アメが余る」という条件に注意して箱の数の範囲を決めることも大切です。
今回は、２０２５年度に女子中の入試で出された「約数と倍数」がテーマの問題をご紹介しました。
２の倍数は下１桁が２の倍数のような倍数の特徴、分数と倍数・約数の関係、最小公倍数と最大公約数の関係など、倍数と約数の問題を解くためには多くの知識が必要です。
約数と倍数の問題が苦手なようでしたら、まずは一行問題のような基本問題を解いて、知識に抜け落ちがないかを確認しましょう。
