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第791回 男子中の入試問題 数の性質 3
「第７９１回 男子中の入試問題 数の性質 ３」
ここまで、２０２６年度に男子中の入試で出された「数の性質」の問題について考えています。
今回は、前回ご紹介した最後の問題にも出てきた「数の規則性」の問題を見ていきます。
１問目はくり返しの問題です。
【問題】次の［ ］にあてはまる数を求めなさい。
電球Ａはスイッチを入れると「３秒間光って、２秒間消える」をくり返します。電球Ｂはスイッチを入れると「１秒間光って、２秒間消える」をくり返します。電球Ａ、Ｂのスイッチを同時に入れてから１００秒後までに、電球Ａと電球Ｂの両方が光っている時間は［ ］秒間です。
（城北中学校 ２０２６年 第１回 問題２－（２） 問題文一部変更）
【考え方】
電球Ａは
３秒間＋２秒間＝５秒間
で点滅をくり返し、電球Ｂは
１秒間＋２秒間＝３秒間
で点滅をくり返しますから、時間（５秒間、３秒間）の最小公倍数である１５秒間について調べます。
１００秒間÷１５秒間＝６セットあまり１０秒間
電球Ａと電球Ｂの両方が光っている時間は１セットの中に３秒間あり、余りの１０秒間の中に２秒間ありますから、全部で
３秒間×６セット＋２秒間＝２０秒間
です。
答え ２０
本問は、くり返しの規則性を利用する問題です。
くり返す１セットについて調べることが、解き方の基本です。
２問目は数列の問題です。
【問題】次の［ ］にあてはまる数を答えなさい。
次のように、ある規則によって整数をならべます。
１、３、６、１０、１５、２１、……
この整数の列で、初めから１２番目の整数は［ ① ］、２００より大きい最初の整数は［ ② ］です。
（サレジオ学院中学校 ２０２６年 Ａ試験 問題２－（１） 問題文一部変更）
【考え方】
数列の問題は、数に番号をつけること、隣り合う２数の差を調べることの２点が解き方の基本です。
調べてみると、□番目の数と（□＋１）番目の数の差が（□＋１）ですから、１１番目の数と１２番目の数の差は１２です。
１＋２＋３＋４＋５＋６＋…＋１２
＝（１＋１２）×１２÷２
＝７８ … １２番目の数
続けて書き出します。
７８＋１３＝９１ … １３番目の数
９１＋１４＝１０５ … １４番目の数
１０５＋１５＝１２０ … １５番目の数
１２０＋１６＝１３６ … １６番目の数
１３６＋１７＝１５３ … １７番目の数
１５３＋１８＝１７１ … １８番目の数
１７１＋１９＝１９０ … １９番目の数
１９０＋２０＝２１０ … ２０番目の数
よって、２００より大きい最初の整数は２１０です。
答え ① ７８、 ② ２１０
本問は、数列の基本を確認できる問題です。
なお、［ ② ］は次のようにして求めることもできます。
２００を□番目の数とすると、
（１＋□）×□÷２＝２００
（１＋□）×□＝４００
なので、「□はおよそ２０」と見当をつけることができます。
□＝１９のとき
（１＋１９）×１９÷２＝１９０
□＝２０のとき
（１＋２０）×２０÷２＝２１０
３問目は群数列の問題です。
【問題】ある規則にしたがって、下のような数の列をつくります。
このとき、２５/５０は初めから数えて何番目にありますか。
（高輪中学校 ２０２６年 Ａ日程 問題２－（４））
【考え方】
問題の数の列は、次のように区切ることができます。
第□群には、分母が（□＋１）、分子が１から□までの□個の分数が並んでいますので、２５/５０は第４９群の２５番目の分数とわかります。
１個＋２個＋３個＋４個＋…＋４７個＋４８個＋２５個
＝（１個＋４８個）×４８÷２＋２５個
＝１２０１個
よって、２５/５０は初めから数えて１２０１番目にあります。
答え １２０１番目
本問は、群数列の基本問題です。
もし、正解できないようでしたら、区切り方、等差数列の和の公式を確認しましょう。
最後は数表の問題です。
【問題】次の［ ア ］～［ ウ ］にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。
１以上の整数を小さいものから順に、下の図のような規則で並べます。
たとえば、２段目の左から３番目の数は８です。
このように数を並べたとき、５段目の左から６番目の数は［ ア ］です。また、２００は［ イ ］段目の左から［ ウ ］番目に並びます。
（浅野中学校 ２０２６年 問題１－（２） 問題文一部変更）
【考え方】
１からの整数が順に三角形の形に並んでいますので、三角数（赤字 例：１＋２＝３、１＋２＋３＝６、１＋２＋３＋４＝１０）の位置に着目します。
１は（１段目、１番目）、３は（２段目、１番目）、６は（３段目、１番目）、１０は（４段目、１番目）、…のように、□番目の三角数は（□段目、１番目）にあります。
５段目の左から６番目の数は、１段目の左から１０番目の数㋑から数えて５番目に並ぶ数で、数㋑は９段目の左から１番目の数㋐の次の数です。
㋐は９番目の三角数なので、
１＋２＋…＋９
＝（１＋９）×９÷２
＝４５
より、㋑は４６とわかります。
ですから、５段目の左から６番目の数は
４６＋（５－１）＝５０です。→ ア＝５０
１＋２＋…＋１９
＝（１＋１９）×１９÷２
＝１９０
１＋２＋…＋２０
＝（１＋２０）×２０÷２＝２１０
なので、２００は１９番目の三角数である１９０（㋒）の１０個後に並べられる数です。
㋓から２００まで１０個の整数が並びますから、イ＝１０、
ウ＝２０－（１０－１）＝１１
です。
答え ア ５０、 イ １０、 ウ １１
本問は、三角形タイプの数表の問題です。
もし、正解できないようでしたら、三角数に着目すること、一部を省略した表を利用できることを確認しましょう。
今回は、２０２６年度に男子中で出された「数の規則性」の問題をご紹介しました。
１問目から３問目までは基本レベルの問題です。
もし、正解できない問題があれば、着眼の仕方、等差数列の公式を復習します。
４問目のような数表の問題が苦手なときは、はじめに数を正方形の形に並べる四角形タイプを練習し、その次に今回ご紹介したような三角形タイプに取り組んでみましょう。
