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第728回 男子中の入試問題 場合の数 3
「第７２８回 男子中の入試問題 場合の数 ３」
ここまで、近年に男子中の入試で出された「場合の数」の中から、「並べ方と選び方」、「ゲーム」がテーマの問題について考えました。
今回は、「塗り分け」、「条件のついた並べ方」、「遠回りができる道順」の問題を取り扱います。
１問目は「塗り分け」問題です。
【問題】図のような模様がかかれた壁の４つの場所に色をぬります。使える色は、赤、青、白、黄の４色で、同じ色を何回使ってもよいものとしますが、となり合う場所を同じ色でぬることはできません。一番左の場所は必ず赤をぬることとします。
（１） ２色だけ使うぬり方は何通りありますか。
（２） ４色すべて使うぬり方は何通りありますか。
（３） すべてのぬり方は全部で何通りありますか。
（佼成学園中学校 ２０２４年 問題４）
【考え方】
（１）
使う２色のうち、一番左の場所には赤を塗ると決まっていますので、残りの１色が青の場合を考えます。
「となり合う場所を同じ色でぬることはできません」から、アに青、イに赤、ウに青を塗る１通りだけです。
２色目が白の場合も、黄の場合も同じですから、全部で
１通り×３＝３通り
です。
答え ３通り
（２）
すべての色を使わなければいけませんから、アには赤以外の色の３通り、イには赤とアで使った色以外の２通り、ウには最後に残った１色の１通りの塗り方があります。
ですから、４色すべてを使う塗り方は
１通り×３通り×２通り×１通り＝６通り
です。
答え ６通り
（３）
（１）で２色の場合、（２）で４色の場合を求めましたから、残っている３色の場合を考えます。
はじめに、赤以外の３色のうち、黄を使わない塗り方を考えます。
イに青を塗る場合は次の３通りがあります。
イに白を塗る場合も同じだけありますから、黄を使わない塗り方は
３通り×２＝６通り
です。
白を使わない場合も、青を使わない場合も同様ですから、３色を使うぬり方は
６通り×３＝１８通り
あります。
よって、すべての塗り方は
３通り＋１８通り＋６通り＝２７通り
です。
答え ２７通り
本問は、塗り分けを考えるときの基本を確かめることができる問題です。
塗り分け問題が苦手なときは、解答例のように使う色を具体的に決めて塗り方を求めると考えやすいと思います。
それができるようになれば、（１）、（３）について、以下のような考え方にもチャレンジしましょう。
（別解）
（１）
２色だけを使うとき、塗り方のパターンは１通りです。
○色の選び方は、赤以外の３通りです。
パターンが１通り、色の選び方が３通りありますから、全部で
１通り×３通り＝３通り
です。
（３）
使う色の種類が何色であってもよいので、アには赤以外の色の３通り、イにはア以外の色の３通り、ウにはイ以外の色の３通りの塗り方があります。
１通り×３通り×３通り×３通り＝２７通り
２問目は「条件のついた並び方」に関する問題です。
【問題】Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君の４人が、赤色、青色、黄色の３つのいすを使って、次のようなルールでゲームをします。オニを１人決め、残りの３人はいすに座ります。オニが「動け！」と叫んだら。座っている人は立ち上がって別のいすに座らなければなりませんが、このときオニも空いているいすに座ろうとします。そして、いすに座れなかった１人が次のゲームのオニとなります。初めにＡ君をオニと決め、Ｂ君が赤色のいすに、Ｃ君が青色のいすに、Ｄ君が黄色のいすに座ります。
（１） ゲームを１回行った後に次のようになるとすると、３人の座り方は全部で何通り考えられますか。
① Ａ君が次のゲームのオニとなる
② Ａ君が次のゲームのオニとならない
（２） ゲームを２回続けて行ったところ、Ｄ君が２回連続で次のゲームのオニとなりました。２回目のゲーム終了時点での３人の座り方は全部で何通り考えられますか。
（成城中学校 ２０２４年 問題２）
【考え方】
（１）－①
条件を整理します。
Ｃ君が赤色のいすに座る場合、青色のいすに座るのはＤ君、黄色のいすに座るのはＢ君の１通りです。
Ｄ君が赤色のいすに座る場合も、青色のいすに座るのはＢ君、黄色のいすに座るのはＣ君の１通りです。
１通り＋１通り＝２通り
答え ２通り
（１）－②
Ｂ君が次のゲームのオニとなるときのいすの座り方を考えます。
Ｃ君、Ｄ君がオニとなる場合も同様ですから、全部で
３通り×３＝９通り
あります。
答え ９通り
（２）
（１）－②より、１回ゲームを行った後でＤ君がオニとなる場合も３通りあるとわかります。
さらに、Ｄ君が続けてオニとなり、いすに座っている３人が別のいすの座る場合の数を整理すると、次のような５通りがあります。
答え ５通り
本問は、場合の数の書き出し方を確認できる問題です。
（３）を「３通り×２通り＝６通り」としているときは、問われているのが「２回目のゲーム終了時点での３人の座り方」なので１回目のゲーム終了時点での座り方は考えませんから、重複を除かなければいけないことに注意しましょう。
３問目は「遠回りができる道順」に関する問題です。
【問題】下の図のような東西に４本、南北に６本の道があります。南スタート地点から東ゴール、西ゴール、北ゴール地点のいずれかに進む方法は全部で何通りありますか。ただし、南方向に進むことはできませんが、北方向、東方向、西方向のいずれかに進むことができます。また、一度通った道を通ることはできませんが、遠回りすることはできます。
（早稲田中学校 ２０２４年 問題３）
【考え方】
初めに、東ゴール地点に進む方法を考えます。「南方向に進むことはできません」という条件から、東ゴール地点に進むときに通る道は赤色の長方形部分にある道です。
ですから、図のＳからＧへは次の６通りの進み方があります。
次に、西ゴール地点に進む方法を考えます。
東ゴール地点に進むときに調べたことからわかるように、西ゴールにつながる赤色の直線上に到達すると、そこからは西方向に進むことしかできません。
赤色の直線上に到達するためには、それにつながる６本の青色の直線のいずれかを通りますので、６通りの進み方があります。
また、１本の青色の直線に進む方法は、東ゴール地点に進むときと同じ６通りです。
ですから、西ゴール地点に進む方法は
６通り×６通り＝３６通り
あります。
北ゴール地点に進む場合も同様に考えると、
６通り×６通り×６通り＝２１６通り
です。
よって、全部で
６通り＋３６通り＋２１６通り＝２５８通り
です。
答え ２５８通り
本問は、わかったことが次の問いのヒントとなっている誘導形式の問題です。
（１）、（２）のような小問番号こそありませんが、東ゴール地点→西ゴール地点→北ゴール地点という順自体が誘導になっています。
今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「塗り分け」、「条件のついた並べ方」、「遠回りができる道順」の問題をご紹介しました。
場合の数は、今回のように、計算だけで解ける問題と書き出しが必要な問題とががあります。
計算だけで解ける問題かどうかの判別が得意でないときは、樹形図やそれをもとにした計算、順列や組み合わせの計算公式がマスターできているかをチェックした後に、基本問題と応用問題で条件のどこに違いがあるかを考えるようにしてみましょう。
