前田昌宏の中学受験が楽しくなる算数塾

「第413回　『平面図形』の勉強方法 1」

ここまで5年生で学ぶ「速さ」について見てきましたが、今回からは5年生の2学期に学ぶ「平面図形」を取り扱ってみようと思います。

大手進学塾の1つであるサピックスの場合、「平面図形」については、5年生になったばかりの2月に「直線図形」、「曲線図形」の面積の求め方を学び、春期講習ではこれらの復習と「角の大きさ」を、さらに5月に入って「点の移動と平面図形の面積」について学びます。

そして11月からは「直線図形」、「曲線図形」の復習と「図形の移動」、「辺の比と面積の比」がカリキュラムに組み込まれています。

今回は2学期に学ぶ内容の中から「図形の移動」について、平常教材「Daily Support」（過年度版）を用いてみていこうと思います。

「直線図形」、「曲線図形」の復習とセットになった回の「図形の移動」の問題は、「Daily Support」のE問題で取り扱われています。

ここで学ぶ「図形の移動」は、すべて「円が図形の辺にそって転がる」という、マンスリーテストなどの塾模試や中学入試でよくだされる分野です。

（E問題より）
半径2cm、中心Oの円が右図のような台形の外側をすべることなく転がります。次の問いに答えなさい。（ただし円周率は3.14とします。）

(1)　中心Oの円のえがく線の長さを求めなさい。

(2)　円が転がってできる部分の面積を求めなさい。

【解答例】
今回学ぶ「図形の移動」では、正確な作図ができるようになることが重要な学習目標です。

(1)
はじめに「直線上」を円が転がる様子について考えます。

次の図のように円が直線上をPからQまで転がるとします。

すると、円は図のように転がりますから、円の中心がえがく線は直線と平行になります。

ここで重要なことは、円が点Qまで転がったときの図です。

上の図のように、直線と半径の関係は垂直です。

この図を利用すると「角の曲がる様子」は、下の図のように2つの直線上を転がる円の動きを「合体」させることで作図できます。

ですから、(1)の図は次のようになります。

円の中心がえがく線のうち、直線部分（赤色の直線）は台形のまわりの長さと同じです。

また、下の図のように斜線部分は長方形ですから、4つの曲線部分を1ヶ所に集めるとちょうど円が1つでき、半径2cmの円の円周と等しい長さになることがわかります。

10cm＋15cm＋25cm＋15cm＋2cm×2×3.14＝77.56cm　

なお、曲線部分については、「円が同じ向きにまわりながら1周するのだから1回転＝360°」のように考えることもできます。

(2)　
(1)の作図と同じ方法で次のような図をかくことができます。

(10cm＋15cm＋25cm＋15cm)×4cm＋4cm×4cm×3.14＝310.24cm²　

なお、(2)については「センターライン解法」を用いることもできます。

求める部分を「道路」、転がる円の中心がえがいた線を「センターライン」に見立てた解き方です。

中心の移動距離は(1)で求めていますから、

77.56cm×4cm＝310.24cm²　

のように計算します。

もう1問、今度は円が「なめらか」には動かない問題です。

（E問題より）
右図のような長方形の内部を半径4cmの円が、辺にそって一周します。次の問いに答えなさい。（ただし円周率は3.14とします。）

(1)　円の中心が移動する長さは何cmですか。

(2)　円が通り過ぎる部分の面積は何cm²ですか。

【解答例】
この問題も作図が重要な学習ポイントですが、「お掃除ロボット」の動きを考えれば前問よりはわかりやすいかも知れません。

(1)　
前問とちがって、「図形の内側を転がる」場合は、角で「カクッ」と曲がります。

{ ( 40cm－4cm×2 )＋( 70cm－4cm×2 ) }×2＝188cm　

(2)　
円が角で「カクッ」と曲がっていて動きがなめらかではないので、「センターライン解法」は使えません。

上の図から、長方形の4つの隅と内部の小さな長方形が、円の通り過ぎない部分だとわかります。

「4つの隅」は集めると次のような図になります。

また、内部の小さな長方形のたての長さは

40cm－8cm×2＝24cm、

横の長さは

70cm－8cm×2＝54cm

です。

ですから、求める面積は、

40cm×70cm－{ ( 8cm×8cm－4cm×4cm×3.14 )＋24cm×54cm }＝1490.24cm²　

です。(まわりから引く以外に、斜線部分を区切って求める方法もあります)

今回は、マンスリーテストなどの塾模試や中学入試でよく出題される「図形の移動」について、代表的な2問を取り上げましたが、いずれの問題も「角の曲がり方」の作図がポイントでした。

逆にいえば「作図さえ正確にできれば正解は難しくない」ということです。

ですから、家庭学習では正確な作図を心がけて、「図形の移動」を得意分野にすることができればいいなと思います。