Tweet第344回 平面図形の点数を上げる勉強方法 3
「第344回 平面図形の点数を上げる勉強方法 3」前回は、直線上の転がり移動を、三角形と円について、
サピックス5年生の春期講習、夏期講習の問題を題材に、
その内容とチェックポイントを見ました。
今回は少しレベルが上がった問題について、
正解するために必要な事が何かを考えていきます。
サピックス夏期講習No.8-B問題-2
問題1は円が一直線を転がる問題でしたが、問題2では折れ線上を転がります。
折れ線ですので「コーナーの曲がり方の作図」がポイントです。
お子さんには、運動会の競技「台風の目」をイメージしてもらうと
腑に落ちやすいかもしれません。
コーンが図形の角、棒が円の直径です。
上からこの様子を見ると
のように、コーンに近いほど動きが小さくなります。
ですから問題2では次のようになります。
この角の部分以外は「直線上の転がり移動」ですから、
問題1と同様、直線的に動きます。
「なんだ、意外に簡単だ」と感じられるかも知れません。
確かに「図を描いて解く」だけであれば
「簡単」といえる問題ですが、
実は、この問題には2つの重要な学習項目が隠されています。
この2点も含めた理解度をチェックすることが、この問題で必要なことです。
この2点が理解できていると、続くB問題-3や、
8月マンスリー確認テストで夏期講習テキストとは異なる条件の問題も
正解できると思います。
夏期講習のB問題-3は「長方形の外側」を転がりますから、
前問の図が4個くっついているともいえます。
ですから、もしB問題-2が不正解のままであれば、
B問題-3の正解も難しくなります。
(1)の図
上の図のように、円の中心の動きは「4つの直線」と「4つの弧」です。
このうち、「4つの直線」の長さの和は、
長方形のまわりの長さと同じです。
また、「4つの弧」の長さの和は、
直径2cmの円の円周の長さと同じです。
(6cm＋9cm)×2＋2cm×3.14＝36.28cm
(2)の図
前問と同じように角を曲がる＝回転移動の部分は、
回転の中心から最も近い点（長方形の頂点なので動きません）と、
回転の中心から最も遠い点の動きを描くと
おうぎ形（四分円）ができ、全て集めると円になります。
また、直線部分は長方形です。
(6cm＋9cm)×2×2cm＋2cm×2cm×3.14＝72.56cm2
では、8月マンスリー確認テストの問題はどこがちがうのでしょうか。
長方形の角を曲がるときは
「四分円になる」ことが「直感的」にわかっても、
正三角形の角を曲がるときがイメージしにくいため、
「60°回転する」と勘違いすることがあります。
しかし、前述のように、
「角で回転の始めと終りでは、直径は直線と垂直になる」
という重要なポイントを押えることができていれば、
「いつでも正解」できます。
図のように「直線部分の転がり移動を先に描く」と、
正三角形の頂点で回転してできるおうぎ形も描きやすくなります。
また「90°」が書かれているので、
おうぎ形の中心角＝360°－(90°＋60°＋90°)＝120° も
簡単にわかります。
3つの直線部分と3つのおうぎ形の弧を「集める」と、
「円の中心の動き＝正三角形の周りの長さ＋直径3cmの円の円周」
となりますから、
8cm×3＋3cm×3.14＝33.42cm がこの問題の答えです。
ここまでの理解ができれば、
発展学習として次のことを学んでおくと、
もう1ランクレベルの高い問題にも対応できるようになります。
図のように、ア＋イ＋ウ＝180°なので
ア、イ、ウの角の大きさに関係なく、
おうぎ形の3つの中心角の和＝360°×3－90°×2×3－180°＝360°
であることがわかります。
ですから、円が凹みのない多角形の外側を1周すると、
「中心が移動した長さ＝多角形のまわりの長さ＋転がる円の円周」
ということがわかります。
今回は、円が多角形の外側を転がる問題を中心にみてきましたが、
ここで押えておきたい学習ポイントは次の4つだとわかりました。
・角での回転の始まりと終りでは、直径は直線と垂直になる
・回転は、回転の中心から最も近い点と遠い点の2点の動きを作図する
・直線部分と曲線部分をそれぞれ集めて計算する
・凹みのない多角形の外側を1周すると円の中心が移動した長さは、
多角形のまわりの長さ＋転がる円の円周に等しい
これら4つのポイントを理解して正確な作図ができるようになると、
転がり移動の問題も決して難しくはないと思います。
今回は、多角形の外側を転がる円の問題を見てきましたが、
次回は、多角形の内側を転がる円の問題などを見ていく予定です。
