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第693回 共学中の入試問題 場合の数 3
「第６９３回 共学中の入試問題 場合の数 ３」
前回は、近年の共学中の入試で出された「場合の数」の中から「場合分け」と「計算の活用」がテーマの問題を見ました。
今回は「順序よく調べる」問題を取り扱います。
１問目はタイルを並べる問題です。
【問題】同じ大きさの白色の正方形のタイルがたくさんあります。また、白色のタイルと同じ大きさの黒色の正方形のタイルもたくさんあります。これらのタイルの辺と辺をはり合わせて平面上に並べて図形をつくります。例えば、正方形のタイルを５枚はり合わせるとき、［図１］の図形と［図２］の図形は、平面上で回転させると同じ図形になるので、１種類の図形とみなしますが、［図１］の図形と［図３］の図形は、平面上で回転させても同じ図形にならないので、異なる図形とみなします。また、［図１］の図形と［図４］の図形は、色の配置が違うので、異なる図形とみなします。このとき、次の□に適当な数を入れなさい。
（１）白色の正方形のタイルを４枚はり合わせると、異なる図形は全部で□種類できます。
（２）白色の正方形のタイルと黒色の正方形のタイルの両方を使って、４枚のタイルをはり合わせると、異なる図形は全部で□種類できます。
（慶應義塾中等部 ２０２４年 問題６）
【考え方】
（１）
４枚を１段に並べる、３枚と１枚の２段に並べる、２枚と２枚を２段に並べるの３つの場合に分けて書き出します。
答え ７（種類）
（２）
（１）のＡについて調べます。
（１）のＢについて調べます。
Ａからもわかるように、（白３枚＋黒１枚）のときの白と黒のタイルを入れ替えると（白１枚＋黒３枚）と同じはり合わせ方になりますので、Ｂの場合は全部で
４種類＋６種類＋４種類＝１４種類
です。
（１）のＣについて調べます。
やはり、（白３枚＋黒１枚）のときの白と黒のタイルを入れ替えると（白１枚＋黒３枚）と同じはり合わせ方になりますので、Ｃの場合は全部で
４種類＋６種類＋４種類＝１４種類
です。
（１）のＤは（１）のＢと線対称な図形ですから、タイルのはり合わせ方は同じ１４種類です。（１）のＥについて調べます。
（白３枚＋黒１枚）と（白１枚＋黒３枚）は、はり合わせ方が同じだけあるので、全部で
１種類＋２種類＋１種類＝４種類
です。
（１）のＦについて調べます。
（白３枚＋黒１枚）と（白１枚＋黒３枚）は、はり合わせ方が同じだけあるので、全部で
２種類＋４種類＋２種類＝８種類
です。
（１）のＧは（１）のＦと線対称な図形ですから、タイルのはり合わせ方は同じ８種類です。
以上のように、Ａが８種類、Ｂが１４種類、Ｃが１４種類、Ｄが１４種類、Ｅが４種類、Ｆが８種類、Ｇが８種類ありますから、全部で７０種類のはり合わせ方があります。
答え ７０（種類）
本問は、１段に並べる、２段に並べるのように基準を作って場合分けをし、順序よく調べると答えを求めることができる問題です。
（２）では□と■を○と×に代えるなど、書き出し方に工夫をすることもできます。
次は、立体版の「道順問題」です。
【問題】下図の立方体において、点Ｐが頂点Ａを出発し、辺の上を移動して頂点Ｂに到着する方法について考えます。ただし、進む方向を変更できるのは立方体の頂点の場所だけです。
【ルール】
① 点Ｐははじめ、頂点Ａにいます。
② 一つの辺を移動するのにかかる時間は１秒です。
次の問いに答えなさい。
（１）点Ｐが３秒後にはじめて点Ｂにたどり着く方法は何通りありますか。
（２）点Ｐが５秒後にはじめて点Ｂにたどり着く方法は何通りありますか。ただし、同じ頂点を通ることはできますが、一度通った辺を通ってはいけません。
（３）点Ｐが５秒後にはじめて点Ｂにたどり着く方法は何通りありますか。ただし、一度通った辺を通ってもよいものとします。
先ほどの【ルール】に次のことをつけ加えます。
③ 点Ｐは一度だけ立方体の頂点で１秒間止まることができます。
（４）点Ｐが４秒後にはじめて点Ｂにたどり着く方法は何通りありますか。
（５）点Ｐが６秒後にはじめて点Ｂにたどり着く方法は何通りありますか。ただし、同じ頂点を通ることはできますが、一度通った辺を通ってはいけません。
（６）点Ｐが６秒後にはじめて点Ｂにたどり着く方法は何通りありますか。ただし、一度通った辺を通ってもよいものとします。
（広尾学園小石川中学校 ２０２４年 問題３ 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
頂点Ａから頂点Ｂへ移動するために最短で３つの辺を通りますので、最短経路のときにちょうど３秒かかります。
「道順問題」の書き出し方（１・１解法）で、１秒ごとに隣の頂点までの移動する場合の数を調べていきます。
２通り＋２通り＋２通り＝６通り
答え ６通り
（２）
５秒で５つの辺を移動しますから、最短経路で移動するときよりも辺２つ分だけ遠回りをすることになります。
頂点Ａを出発して１秒後に到着する頂点はア、イ、ウの３点です。
頂点アに移動した場合、次の１秒で移動できる頂点はエとオの２点です。
頂点エに移動した場合、下図のようにイ→カ→Ｂと移動する１通りの経路があります。
頂点オに移動したときも同様に１通りの経路がありますから、１秒後に頂点アに移動した場合の経路は合計で２通りあることがわかります。
頂点イ、ウに移動した場合も同様に２通りずつの経路がありますから、全部で
２通り×３＝６通り
の経路があります。
答え ６通り
（３）一度通った辺を通らない場合を（２）で調べましたから、一度通った辺をもう一度通る場合を調べます。
例えば、最短経路の「Ａ→ア→エ→Ｂ」の１通りについて、一度通った辺をもう一度通る場合の数を調べると、下の図のように６通りの経路があります。
（１）の移動経路は６通りありましたから、一度通った辺をもう一度通る経路は
６通り×６通り＝３６通り
です。
よって、（２）の６通りと合わせた４２通りの経路があります。
答え ４２通り
（４）
（１）より最短経路の場合に３秒かかることがわかっています。
また、（３）から遠回りをすると５秒以上の時間がかかることもわかります。
ですから、頂点Ａから４秒後にはじめて頂点Ｂに到着するのは、（１）の移動経路において、どこかの頂点で１秒止まる場合だけです。
例えば、「Ａ→ア→エ→Ｂ」のように移動する場合、頂点Ｂ以外の３つの頂点Ａ、ア、エのいずれか１点で一度だけ止まることができますから、３通りです。
（１）の経路は６通りありますから、全部で
３通り×６通り＝１８通り
です。
答え １８通り
（５）
（２）の移動経路において、どこかの頂点で１秒止まる場合だけです。
例えば、「Ａ→ア→エ→イ→カ→Ｂ」のように移動する場合、頂点Ｂ以外の５つの頂点Ａ、ア、エ、イ、カのいずれか１点で一度だけ止まることができますから、５通りです。
（２）の経路は６通りありますから、全部で
５通り×６通り＝３０通り
です。
答え ３０通り
（６）
（３）で調べた一度通った辺をもう一度通る場合について、１つの頂点で１秒止まる場合を考えます。
例えば、「Ａ→ア→Ａ→ア→エ→Ｂ」のように、のべ６つの頂点を通る場合、頂点Ｂ以外の５つの頂点のいずれか１点で一度だけ止まることができますから、５通りです。
（３）の経路のうち、一度通った辺をもう一度通る場合が３６通りありましたから、全部で
５通り×３６通り＝１８０通り
です。
よって、（５）の３０通りと合わせた２１０通りの経路があります。
答え ２１０通り
本問は、点Ａから隣りにある３つの点に移動したときの経路がどの点でも同じだけであることや、誘導となっている小問を利用することで答えを導きやすくなっている問題です。
今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された「順序よく調べる」問題をご紹介しました。
１つの場合について丁寧に調べ、それと同じだけの場合の数があるものを見つけることは大切な解法のひとつです。
問題演習を通して、書き出しと計算が上手く組み合わせられるようになるといいですね。
