「第７６８回　共学中の入試問題　比と割合 ４」

近年に共学中の入試で出された「比と割合」の問題を見てきています。

今回は「仕事算」と「ニュートン算」を取り扱います。

１問目は、少し難しい仕事算の定番問題です。

【問題】次の［　］にあてはまる数を求めなさい。

あるタンクに２種類の排水管Ａ、Ｂがついていて、それぞれ一定の割合で水を排水します。満水のタンクからＡ２本とＢ１本で排水すると１８分、Ａ１本とＢ２本で排水すると１５分でそれぞれタンクは空になります。満水のタンクからＡ１本で排水し、全体の１３/２７排水したところで、Ａを閉じてＢ１本を開けて排水し、タンクを空にしました。このとき、満水のタンクを空にするのに［  ア  ］分［ イ  ］秒かかりました。

（明治大学付属明治中学校　第１回　２０２５年　問題１－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

「排水管Ａ」、「排水管Ｂ」のように「名前のある仕事算（仕事能力に差がある）」の原則は、「全体の仕事量を１または時間の最小公倍数とする」です。

ここでは満水時の水量を時間（１８分と１５分）の最小公倍数である９０○とし、１分あたりの水量の変化に着目します。

消去算です。

Ａ１本とＢ１本の排水量の和と差がわかりましたので、和差算の考え方で計算を進めます。

ですから、「満水のタンクからＡ１本で排水し、全体の１３/２７排水したところで、Ａを閉じてＢ１本を開けて排水、タンクを空」は次のような線分図で表せます。

答え　ア　５２、　イ　３０

本問は、仕事算の考え方を使って条件を整理し、消去算と和差算を使って計算する定番の問題ですが、仕事算が苦手な人は少し難しく感じるかもしれません。

正解できないようでしたら、仕事算の原則、消去算の計算技法を確認しましょう。

なお、解答例の他に、Ａ（またはＢ）の本数をそろえるという消去方法でもＯＫです。

２問目は仕事算の応用問題です。

【問題】次の□にあてはまる数を答えなさい。

栄くんと東さんの２人では３０分、東さんと中さんの２人では３６分で仕上がる仕事があります。この仕事を栄くん、東さん、中さんの３人で１５分作業した後、さらに東さんだけが２０分作業すると仕上がりました。この仕事をはじめから中さん１人ですると□分で仕上がります。

（栄東中学校　Ａ日程　２０２５年　問題１－（６））

【考え方】

条件を式に整理します。

式に整理すると「３つの未知数と３つの条件」が与えられている「消去算」であるとわかります。

（ア）と（イ）をたし、さらに（ウ）を２倍して「栄」について「栄×３０分」にそろえます。

（エ）より、東さんが１分にする仕事量と中さんが１分にする仕事量に比が３：２とわかります。

そこで、東さんが１分にする仕事量を ３/分、中さんが１分にする仕事量を ２/分 のように表すと、（イ）より仕事全体は

３/分×３６分＋２/分×３６分＝１８０

と求められます。

１８０÷２/分＝９０分

答え　９０

本問は、仕事算の考え方を使った消去算です。

「名前のない仕事算（仕事能力に差がない）は単位時間あたりの仕事量（例：１台が１分間にする仕事量）を１とする」や「名前のある仕事算（仕事能力に差がある）は全体の仕事量を１または時間の最小公倍数とする」という原則を利用しにくい問題ですが、条件を式に表すことで方針を立てやすくなります。

なお、解答例の他に、（ウ）を「栄さん×１５分＋東さん×１５分＋東さん×２０分＋中さん×１５分＝仕事全体」のように表し、（ア）からわかる「栄さん×１５分＋東さん×１５分＝仕事全体の１/２」を代入して「東さん×２０分＋中さん×１５分＝仕事全体の１/２」を導きだし、（イ）と比べるという方法もあります。

３問目はニュートン算の問題です。

【問題】次の□に適当な数を入れなさい。

一定の割合で水が入ってくる貯水タンクに。□Ｌの水が入っています。この貯水タンクの水は、毎分１５０Ｌの割合でくみ出すとちょうど１０分でなくなり、毎分１２５Ｌの割合でくみ出すとちょうど１８分でなくなります。

（慶應義塾中等部　２０２５年　問題２－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

「名前のあるニュートン算（仕事能力に差がある）」ですから、全体の仕事量を時間（１０分と１８分）の最小公倍数である９０○として、条件を「水そう解法」の図に表します。

（ア）と（イ）の差に着目すると

⑨/分－⑤/分＝１５０Ｌ/分－１２５Ｌ/分　→　①＝６.２５Ｌ

とわかります。

６.２５Ｌ×９０＝５６２.５Ｌ

答え　５６２.５

本問は、ニュートン算の基本問題です。

解答例では、全体の仕事量にあたる貯水タンクに入っている水の量を時間の最小公倍数としましたが、「排水量の合計＝はじめに貯水タンクに入っていた水量＋入ってくる水量の合計」のように考える解き方もあります。

（１２５Ｌ/分×１８分－１５０Ｌ/分×１０分）÷（１８分－１０分）＝９３.７５Ｌ　…　１分間に入る水

１５０Ｌ/分×１０分－９３.７５Ｌ/分×１０分＝５６２.５Ｌ

４問目はニュートン算の応用問題です。

【問題】スーパーＣは１０時にオープンします。オープンと同時に有人レジ４台を開いたところ、１０時１０分に１６人の客が会計をするために並んでいました。その後は毎分一定の客が並び、１０時２２分には３２人の客が並んでしまったので、１０時３４分にこれまでの有人レジ４台に加えて、セルフレジ８台を開いたところ、１０時５２分には並んでいる客がいなくなりました。有人レジは、セルフレジの３/４倍の時間で通過でき、客がそれぞれのレジを通過する時間は全員同じものとします。

（１） １０時３４分に並んでいた客は何人ですか。

（２） 有人レジを１人の客が通過するのにかかる時間は、何分何秒ですか。

（３） １分間に並ぶ客は何人ですか。

（中央大学附属中学校　第１回　２０２５年　問題４）

【考え方】

（１）

数直線を用いて条件を整理すると、次のように表せます。

■人＝１６人ですから、

□人＝３２人＋１６人＝４８人

です。

答え　４８人

（２）

（１）でわかったことを数直線に書き加えて、整理を続けます。

会計待ちの人数は、１０時２２分から１０時３４分までは毎分

１６÷１２＝４/３人

の割合で増え、１０時３４分から１０時５２分までは毎分

４８÷１８＝８/３人

の割合で減ります。

有人レジとセルフレジで、１人のお客がレジを通過する時間の比が ３：４ ですから、同じ時間に通過する人数の比は逆比の ４：３ です。

そこで、１分間に有人レジを通過する人数を４□人、セルフレジを通過する人数を３□、１分間に並ぶ客を☆人として、会計待ちの人数が１分あたりに増減する様子を式に表します。

消去算です。

答え　１分３０秒

（３）

答え　４人

本問は、「（有人レジ、セルフレジのように）名前のあるニュートン算」なので「仕事全体を１または時間の最小公倍数に仮定」という原則を利用しようとしても、上手く使うことができません。

しかし、（１）を（２）のヒントにして条件を見やすくすると、消去算を使うニュートン算であると気づけます。

今回は、２０２５年度に共学中で出された「仕事算」と「ニュートン算」の問題をご紹介しました。

基本問題では「１人が決まった時間にする仕事量を１とする」や「全体の仕事量を１または時間の最小公倍数とする」などの原則を使い、応用問題では条件を見やすく整理して、正解できる問題を増やしていきましょう。