「第７３０回　女子中の入試問題　数と計算 ２」

前回から、近年の女子中の入試問題について考えています。

今回も、引き続き「数と計算」の中から、「工夫のできる計算問題」を取り扱います。

１問目は、工夫をすると桁数の小さい数で計算ができる問題です。

【問題】次の□にあてはまる数を答えなさい。

１０１×２４－９９×１７＋１０２×２１－９８×１７＝□

（東京女学館中学校　２月１日（午後）　２０２５年　問題１－（１））

【考え方】

「１０１×２４－９９×１７」と「１０２×２１－９８×１７」について、かけられる数が１００に近いことに着目し、面積図に整理してみます。

１０１×２４－９９×１７＋１０２×２１－９８×１７

＝３４＋７０７＋６８＋４０８

＝１２１７

答え　１２１７

本問は、計算をするときに面積図を使う工夫のできる問題です。

そのまま計算しても構いませんが、工夫をすると「桁数の小さい数」で計算することができます。

２問目も、工夫をすると桁数の小さい数で計算ができる問題です。

【問題】次の計算をしなさい。

２０２５×２０２５×２０２５－２０２６×２０２５×２０２４

（田園調布学園中等部　２月１日（午後）　２０２５年　問題１－（５））

【考え方】

２０２５とその前後の整数を用いた３つの数のかけ算であることに着目し、立方体と直方体の図に整理してみます。

図より、求める差は、赤色の直方体と青色の直方体の体積の差に等しいことがわかります。

２つの直方体の高さは同じなので、底面を真上から見た図（面積図）をかいて調べます。

よって、

２０２５×２０２５×２０２５－２０２６×２０２５×２０２４

＝★×２０２５－☆×２０２５

＝（★－☆）×２０２５

＝（２０２５×１－２０２４×１）×２０２５

＝１×２０２５

＝２０２５

のように計算できます。

答え　２０２５

本問も、計算をするときを使う工夫のできる問題です。

３つの数のかけ算の式を立体の体積を求める式に読み替えること、それらの立体の高さが等しいことの２点がポイントになっています。

なお、分配のきまりを利用して、面積図の使える形に式を変形する方法もあります。

２０２５×２０２５×２０２５－２０２６×２０２５×２０２４

＝２０２５×（２０２５×２０２５－２０２４×２０２６）

３問目は、大問形式の計算問題です。

【問題】次の先生と生徒の会話文を読んで、後の問いに答えなさい。

先生：それ以上約分できない１より小さい２つの分数で、引き算をしたら分子が１になるようなものを考えてみましょう。例えば、

のようなものです。

生徒：この例を見ると（　Ａ　）のときは引き算をしたら分子が１になりそうですね。

先生：確かにそのようですね。もちろん、（　Ａ　）に当てはまらないような例もあります。例えば

などですね。このような２つの分数を自分で見つけてみましょう。分母は３１と４０であるような２つの分数の引き算で分子が１になる例を作ることはできますか。

生徒：難しいですね。どのように考えたらよいのでしょうか。

先生：式で表すと

となればよいですね。ただし、□には同じ数字が入ります。まずは①について考えてみましょう。□に当てはまる数はいくつですか。

生徒：（ お ）だと思います。

先生：その通りです。通分して分子について考えると、○と△を使って（　Ｂ　）という式が成り立つことがわかります。○と△に当てはまる数字を求めてみてください。

生徒：一の位に注目すればすぐにみつかりました。○は（ か ）、△は（ き ）となります。

先生：よく気がつきましたね。②のほうも同じように工夫して計算してみてください。

生徒：＃は（ く ）、＊は（ け ）となります。

（１） （ あ ）～（ う ）に当てはまる数を答えなさい。

（２） （　Ａ　）に当てはまる語句を答えなさい。

（３） （ え ）、（ お ）に当てはまる数を答えなさい。

（４） （　Ｂ　）に当てはまる式を答えなさい。

（５） （ か ）、（ き ）に当てはまる数を答えなさい。

（６） （ く ）、（ け ）に当てはまる数を答えなさい。考え方や途中の式も書きなさい。

（富士見中学校　算数１教科入試　２０２５年　問題２　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

順に計算をします。

答え　あ　６、　い　１２、　う　２０

（２）

３つの例で、分母の差はどの式も場合も１になっています。

３－２＝１

４－３＝１

５－４＝１

答え　（例） 分母の数の差が１

（３）

（ え ）　

逆算をします。

（ お ）

先生が挙げたどの例の場合でも、２つの分数の分母の積が答えの分数の分母となっていることから、

お＝３１×４０＝１２４０

と考えられます。

答え　え　３、　お　１２４０

（４）

３１と４０は互いに素（１以外の公約数を持たない）なので、通分すると分母は３１×４０となりますから、○/３１の分子と分母に４０を、△/４０の分子と分母に３１をそれぞれかけます。

よって、

○×４０－△×３１＝１

です。

答え　（例）　○×４０－△×３１＝１

（５）

「一の位に注目」というヒントを利用します。

○×４０の答えの一の位の数は０ですから、△＝９の場合を調べてみます。

○×４０－９×３１＝１

○＝（１＋２７９）÷４０＝７　→　か＝７、き＝９ です。

答え　か　７、　き　９

（６）

①と同様に、②を通分したときの分子に着目します。

＃×３１－＊×４０＝１　…　分母を１２４０にそろえたときの分子

＊×４０の一の位の数は０ですから、＃＝１１の場合を調べてみます。

１１×３１－＊×４０＝１

＊＝（３４１－１）÷４０＝８.５　→　整数ではないので不適当です。

次に、＃＝２１の場合を調べます。

２１×３１－＊×４０＝１

＊＝（６５１－１）÷４０＝１６.２５　→　整数ではないので不適当です。

さらに、＃＝３１の場合を調べます。

３１×３１－＊×４０＝１

＊＝（９６１－１）÷４０＝２４　→　く＝３１、け＝２４ です。

答え　く　３１、　け　２４

本問は、引き算をする２つの分数を通分をして１つの分数に表すときに分子を式で表せることを使った問題です。

先生と生徒の会話の中に出てきた例や誘導を見落とさないようにしましょう。

なお、（３）－（お）で答えを「１２４０」と決めきれな場合はいったん保留しておき、「先に続きの（４）に進む」という実戦的な対応をすると、（４）以降の問題を解く過程から（３）－（お）が「１２４０である」と確信できます。

今回は、２０２５年度に女子中の入試で出された「工夫のできる計算問題」を前回に引き続いてご紹介しました。

計算問題の中には、面積図や通分したときの分数の表し方などの工夫ができると、計算しやすくなったり解き方を見つけやすくなったりするものもあります。

練習を通して、工夫ができるようになるといいですね。