「第７６０回　共学中の入試問題　数の性質 １」

前回より、近年に共学中の入試で出された問題について考えています。

今回は「数の性質」の中から「商と余り」と「位取り記数法（Ｎ進法）」の問題を見ていきます。

１問目は、商と余りの関係についての問題です。

【問題】１００から２０２５までの整数の中で、１００で割り切れない整数を考えます。１００で割ったときの商が余りより大きくなるような整数は何個ありますか。

（開智日本橋学園中学校　第１回　２０２５年　問題２－（５））

【考え方】

求める整数をＡ、１００で割った商をＢ、余りをＣとして、条件を式に表します。

Ａ÷１００＝ＢあまりＣ

Ｃは１００で割った余りなので０以上９９以下の整数ですが、「１００で割り切れない整数」という条件がありますから、Ｃは１以上９９以下の整数です。

また、

Ａ＝１０１のとき　→　１０１÷１００＝１あまり１

Ａ＝２０２５のとき　→　２０２５÷１００＝２０あまり２５

ですから、Ｂは１以上２０以下の整数です。

これらの商や余りが Ｂ＞Ｃ となるようなＡを考えます。

Ｂ＝１のとき

Ｃ＝０ですから、「１００で割り切れない整数」という条件にあてはまりません。

Ｂ＝２のとき

Ｃ＝１　→　Ａ＝１００×２＋１＝２０１

の１個があります。

Ｂ＝３のとき

Ｃ＝１、２　→　Ａ＝１００×３＋１＝３０１、１００×３＋２＝３０２

の２個があります。

…

Ｂ＝１９のとき

Ｃ＝１、２、…、１８　→　Ａ＝１００×１９＋１＝１９０１、１００×１９＋２＝１９０２、…、１００×１９＋１８＝１９１８

の１８個があります。

Ｂ＝２０のとき

Ｃ＝１、２、…、１９　→　Ａ＝１００×２０＋１＝２００１、１００×２０＋２＝２００２、…、１００×２０＋１９＝２０１９

の１９個があります。

ですから、全部で

１個＋２個＋…＋１８個＋１９個＝（１個＋１９個）×１９÷２＝１９０個

あります。

答え　１９０個

本問は、商と余りの関係を確認できる問題です。

商と余りの関係の問題は「条件を式に表す」と、大小関係や範囲などが考えやすくなります。

なお、解答例では計算して整数Ａの値を具体的に求めていますが、商が２以上２０以下で余りより大きいという条件からＡの個数を求めてもよいと思います。

２問目は、「余り処理」の問題です。

【問題】次の□に当てはまる数を答えなさい。

７で割ると２あまり、５で割ると３あまる３００以下の整数のうち、最も大きい整数は□です。

（広尾学園小石川中学校　第１回　２０２５年　問題１－（４））

【考え方】

条件は次のような式で表せます。

□÷７＝☆あまり２　…（ア）

□÷５＝★あまり３　…（イ）

（ア）の条件を満たす□を順に書き出し、（イ）の条件を満たすかどうかを調べます。

（ア）と（イ）の２つの条件を満たす最も小さい整数は２３で、（ア）を満たす整数は２３から７ずつ増え、（イ）を満たす整数は２３から５ずつ増えますから、次に（ア）と（イ）の条件を同時に満たす整数は２３から７と５の最小公倍数である３５増えた５８です。

よって、（ア）と（イ）の２つの条件を満たす整数は ２３＋３５×■ のように表せます。

そこで

２３＋３５×■＝３００

とすると

■＝（３００－２３）÷３５＝７あまり３２

より、３００以下で最も大きい整数は

２３＋３５×７＝２６８

とわかります。

答え　２６８

本問は、余り処理の基本を確認できる問題です。

正解できないようでしたら、最小の数を書き出して調べ、割る数の最小公倍数を加えていくという「余り処理」の基本解法をマスターしましょう。

その上で、余りが同じときは「最小公倍数＋余り」、商と余りの差（不足）が同じときは「最小公倍数－不足」、本問のように「同じ」という関係がないときは「最小＋最小公倍数」のように、条件に応じた解法も整理して習得できるといいですね。

３問目は、位取り記数法（１０進法）についての問題です。

【問題】２桁の自然数がある。この自然数の各位の数の和を５倍すると、もとの数より５だけ大きくなり、十の位の数と一の位の数を入れかえると、もとの数より１８だけ大きくなる。このとき、もとの自然数を求めなさい。

（広尾学園中学校　第１回　２０２５年　問題１－（４））

【考え方】

元の２桁の自然数（１以上の整数）の十の位の数をＡ、一の位の数をＢとすると、元の自然数は

１０×Ａ＋１×Ｂ（例：２５＝１０×２＋１×５）

十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数は

１０×Ｂ＋１×Ａ

のように表せます。

元の自然数よりも十の位の数と一の位の数を入れかえた数の方が１８大きいので、

（１０×Ｂ＋１×Ａ）－（１０×Ａ＋１×Ｂ）＝１８

９×Ｂ－９×Ａ＝１８

９×（Ｂ－Ａ）＝１８

Ｂ－Ａ＝１８÷９＝２

です。

よって、元の２桁の自然数として考えられる数は

１３、２４、３５、４６、５７、６８、７９

の７個があります。

これらの数の中から「各位の数の和を５倍すると、もとの数より５だけ大きくなり」という条件にあてはまる数を探します。

答え　３５

本問は、十進数（十進法で表された数）の大きさを表す式を確認できる問題です。

「２桁の整数とその十の位の数と一の位の数を入れかえてできる整数の差は９の倍数になるので、『差が１８』という条件を先に利用する」と考えることができれば、より素晴らしいです。

なお、次のように「虫食い算」を使って、Ａ＝１の場合、Ａ＝２の場合、…　、Ａ＝７の場合まで、元の自然数を順々に求めていくこともできます。

最後も、位取り記数法の問題です。

【問題】図１のマスはある規則で黒くぬりつぶされています。それぞれのマスと数字は対応しています。このとき、図２に対応する数字はいくつですか。

（法政大学第二中学校　第一回　２０２５年　問題２－（１）　問題文一部変更）

【考え方】

塗りつぶされたマスに数を書き込んでその和が「数字」と同じ値になるようにすると、数字１から数字４を表すマスは次のようになります。

よって、５から１０は次のように表せます。

ところで、「２５」は図３のように表せますから、図４は２４を表していることになります。

よって、書き込む数は図５のように４個１組であることがわかります。

以上から、図２に対応する数字は

２５×３＋５×２＋１＝８６

です。

答え　８６

本問は、塗りつぶされた図から５進法の問題であることを読み取る問題です。

塗りつぶされたマスが表す数の大きさを読み取ることができれば「５進法」という言葉を意識する必要はありませんが、このような問題が位取り記数法（Ｎ進法）と関係した問題であることだけは覚えておくとよいでしょう。

今回は、２０２５年度に共学中で出された「商と余り」、「位取り記数法」の問題をご紹介しました。

今回の問題で使った知識は、「数の性質」の問題だけでなく、「場合の数」の問題でも必要になることがありますので、もし、正解できない問題があれば、知識の不足や覚え間違いをチェックし、修正しておきましょう。