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苦手の克服 相似1

図形の練習問題2016年08月13日18時00分

「第300回 苦手の克服 相似1」


今回から、相似を中心とした、「辺の比と面積比」について、
苦手の克服を考えていこうと思います。


その1回目は、「相似」です。


相似の基本は
「ピラミッド型」
「砂時計形(チョウチョ型)」
「直角三角形型」 の3つですが、
それぞれが単独で苦手というケースは少ないようです。


「相似が2組ある問題」
「相似とそれ以外の融合問題」
「相似を完成させる問題」など、
いわゆる「相似の応用」を
安定して解くことができないことがお悩みに多くあります。


そんな問題のひとつを、早速見ていきたいと思います。


2012年9月16日実施 四谷大塚 第1回合不合判定テスト 算数[男子]より

20160812134945.jpg大問4 右の図の四角形ABCDは長方形で、GはBDとCEの交点、HはBDとEFの交点です。これについて、次の問いに答えなさい。

(1)EG:GCを求めなさい。

(2)三角形EHGの面積は何cm2ですか。








「ダブル・チョウチョ(砂時計型相似が2組重なった問題)」の典型問題です。


「相似が2組ある問題」を苦手でなくすために、
一番始めに取り組むことは、
「小問ごとに図を書く」
ことです。


テスト中は時間がないかも知れませんが、
家庭学習をする際には、
このことをぜひ実践していってください。


「小問ごとに図を書く」ということは、次のようなことです。

20160812135016.jpg

上記の問題を用いて、具体的に説明していきます。


「1.問題文中にある、元となる図形を書く」
問題文を前から順に見ていくと、
一番はじめに「右の図の四角形ABCDは長方形で」とあります。
この長方形ABCDが「元となる図形」です。


「2.線を加えなくてよい点を書き込む」
長方形の4つの頂点や、点E、点Fは
すぐに書き加えることができる点です。
このような点を「元となる図形」に書き加えます。


「3.小問に必要な点を作図する」
(1)の問題文を見ると「EG:GC」がでてきますが、
まだ書いた図の中に「点G」がありません。
この「点G」を書き加えることが、
「小問に必要な点を作図する」ということです。

20160812135040.jpg

このようにして書き上げた図を見ると、
「EG:GCを求めるのだから、三角形EGDと三角形CGBの『チョウチョ(砂時計)』を使えばOKだ」
とすぐにわかります。

20160812135114.jpg

答え 4:5 



(2)も同様にして解いていきます。


(2)の問題文を見ると、
まだ書き込んでいない「点H」が必要だとわかります。


テスト中は時間に余裕がありませんから、
(1)で書いた図の中に書き加えることになるのでしょうが、
家庭学習では、もう一度、はじめから書くようにします。

20160812135148.jpg

(1)と同じような図形になりますから、
EH:HF=2:1を求めることが可能だと気づけます。


これで(2)を解くヒントが1つ増えました。


そこで、(1)(2)の図を1つにまとめると次のようになります。

20160812135221.jpg

ここから先は「相似」ではなく、「求積テクニック」の受け持ちです。


図から、三角形EHGの面積を求める方法は大きく3つあります。


最速手順から順にご紹介しますので、
どの「求積テクニック」まで習得できているかチェックし、
最速でない場合は、
1つ上の「求積テクニック」の習得を目指しましょう。

20160812135255.jpg

「隣辺比」が最速の解法ですが、
BH:HG:GDを求める問題もありますから、
「ダブル・チョウチョ」も重要です。


この問題に「魔女の帽子」というニックネームをつけておき、
「ダブル・チョウチョ+隣辺比」という流れを覚えておくとよさそうです。

20160812135316.jpg

また、この問題の変形として「四角形HFCGの面積」という問題もありますので、
「魔女の帽子」はぜひ克服したい問題のひとつです。




さて、今回は、
「小問ごとに図を書く」ことによって、
「問題を解くために必要な図形を見やすくなる・見つけやすくなる」
というテクニックをご紹介しました。


次回も、
「相似が2組ある問題」「相似とそれ以外の融合問題」「相似を完成させる問題」など、
「相似の応用」を安定して解けるようになる方法を考えていこうと思います。

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図形の練習問題2016年08月13日18時00分

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主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。