場合の数　その1 ～工夫をすると～

場合の数の練習問題｜ 2011年10月10日18時33分

カンナ！

お元気ですか。

珍しく1行目が片仮名の理由…。
江戸時代中期にやってきた外来種で花カンナとも言われますが、
カンナにはあてる漢字がないんです。

カンナという名前はギリシャ語で「葦」の意味で、姿が似ているからのようです。

この花の大形でとても華やかなところが大好きなんです。

夏には真っ赤な花もあったのですが、この時期に咲いてくれたのは鮮やかな黄色です。

このとなりにまだ花をつけていないカンナがあり、
何色の花を咲かせてくれるのかが楽しみです。
（もっともかなり涼しくなってきたので、今年は咲かないかもしれませんが？）

そんな赤、白、黄色と色々な花が咲くカンナ、どんな順に植えられるのでしょうか？

赤→白→黄色、赤→黄色→白…。

というわけで、今回は「場合の数」です。

「場合の数」と聞いただけで、すぐにでも逃げ出したくなるお子さんも多いのですが、
意外と低学年のお子さんは「得意だよ！」と答えてくれます。

灘中を受験するお子さんでさえも、最後まで最も不安に感じる単元なんですけど。

その違いを一言で表すと、「本当の難しさを知らないだけ」なんですが…。

でも、「得意だよ！」と感じているうちに理解を深めていけば、受験においては有利ですね。

というわけで、低学年向けの問題です。

【問題1】
次の図のように「ア」と「イ」が3本の線で結ばれています。これを一筆書きで「ア」から書きはじめ、「イ」で書きおわるとき、何通りの書き方がありますか。

もし、3年生以上で「一筆書きってなあに？」という質問が返ってきたら、ちょっとピンチかも…。

「場合の数」は特に知識量が物を言う単元です。

さてこの問題は低学年向けですが、高学年のお子さんにも取り組んでもらって下さい。

低学年ならば、「なぞって」答えてもらってOKですが、
5年生以上でしたらもう一工夫欲しいところですが、どうだったでしょうか？

そこで、その工夫の前にもう1問です。
今度は高学年向けです。（もちろん低学年でも正解が可能ですよ！）

【問題2】
1、2、3の3枚のカードがあります。このカードをならべて3けたの整数を作ります。全部で何通りの整数を作ることができますか。

解き方のポイントとレベルは次の5つです。

・小さい順（または大きい順）に書いている
123　132　213　231　312　321

・たてにならべて書いている（または百台ごとにまとめている）
123　　213　　312
132　　231　　321

・樹形図を描いている書いている

・樹形図を描き、途中から計算で解いている

2×3＝6　6通り

・計算で求めることができている
3×2×1＝6　6通り

書き出す場合は順序良く、見やすくがポイントです。
学年や習熟度にもよりますが、計算で求められれば一番良いですね。

式にしてみれば「たいしたことがない」ように見えますが、
この「積の法則」は場合の数の基本なので、これを使えることがとても重要なんです。

では「問題1」にかえって、「問題2がヒントなんだけど、何か工夫できないかな？」と誘ってみましょう。

ここでは、計算が可能なことに気付ければ最高です！

ただし、問題を解くときに計算で解くことがベストとは限りません。
書き出しのほうが勝ることも多々あります。
大切なのは、どちらが有利かを自分の技量から判断して解くことです。

場合の数の難しさは、
・自分なりの「順序のルール」を持っていること
・「一筆書き」のような用語を知っていること
・「書き出しなのか、それとも計算で求めることが可能なのか？」の判断ができる力
・「工夫することが可能」だと見抜く経験と知識
が要求される点だといえます。

では最後に、簡単そうに見えて…、という良問をひとつご紹介します。

【問題3】
次の図で点Pから出発して一筆書きする方法は何通りありますか？
（甲陽学院中　2007　2日目）