「第492回　合否を分ける問題の解き方 旅人算」


前回より、中学入試の合否を分ける算数の問題の解き方について見てきています。


合否を分ける問題は、初めて見る問題となることが多い発展問題と異なり、受験勉強に取り組む中で、「類題を一度は解いたことがある」問題です。


今回は、そのような問題の中から、「旅人算」を取り上げてみようと思います。


「旅人算」の基本問題は、

・2人の速さの和×出会うまでの時間＝2人が進んだ距離の和
・2人の速さの差×追いつくまでの時間＝2人が進んだ距離の差

を用いて解きます。




しかし、合否を分ける「旅人算」の応用問題は、上記よりも複雑な線分図を利用することになりますので、線分図に書き込む「同時マーク」の使い方を身につけておくことが大切です。


1つの例として、2020年度の豊島岡女子学園中学校の入試問題を見てみます。






2020年度　豊島岡女子学園中学校　入試問題　1回　算数より　

問題3　AさんとBさんの姉妹2人が家から学校に向かい、学校に着くとすぐに家に帰ります。2人は同時に家を出発し、Aさんが3km進む間に、Bさんは家から学校までの距離の3分の1を進みました。その後、2人とも速さを変えずに進み、Aさんの方がBさんより10分早く学校に着きました。帰りは、Aさんは行きと同じ速さで進み、Bさんは行きの1.5倍の速さで進んだところ、2人は同時に家に着きました。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)　Bさんが学校に着いたとき、Aさんは家から何km離れた地点にいましたか。

(2)　Bさんの行きの速さは時速何kmでしたか。








【解答例】
(1)
問題の条件を線分図に表してみます。


このとき、線分図にすべての条件を書き込んでしまうと、速さが苦手な場合、解き方の糸口が見つけにくくなることがあります。



そのようなときは、問題文の前から順に1つずつ条件を書き込んでいき、1つ書き込むたびに「何がわかるかな？」と考えてみるとよいでしょう。


はじめに、「2人は同時に家を出発し、Aさんが3km進む間に、Bさんは家から学校までの距離の3分の1を進みました」という条件を線分図に表します。



次に、「2人とも速さを変えずに進み、Aさんの方がBさんより10分早く学校に着きました」を書き加えます。



「線分図2」からはわかることがありませんので、次の条件を書き加えます。


このとき、Bさんは「行きの1.5倍の速さ」に変速しますから、変速する前と後に分けて線分図をかきます。



ここで、「線分図解法は→に距離または距離比を書く」とい原則に従うと、Aさんの→を次のように書き込むことができます。



「線分図4」より、③＝9km　→　②＝6km　と、(1)の答えが求められます。


(2)
(2)はいろいろな求め方があります。


次の解き方は一例です。

(9km＋6km)÷2＝7.5km　…　家～学校

(7.5km－6km)÷1/6時間＝9km/時　…　Aさんの速さ

7.5km÷9km/時＝5/6時間　…　Aさんが家から学校までにかかる時間

5/6時間＋1/6時間＝1時間　…　Bさんが家から学校までにかかる時間

7.5km÷1時間＝7.5km/時







旅人算も合否を分けるレベルの問題になりますと、基本の計算公式だけで解くことはなかなかできません。


本問のように、「条件を整理し、解き方の糸口を見つける力」が必要になってきます。


整理に「線分図」を利用するときに大切なことは、

①→に距離または距離比を書く

②同時マークに着目する

の2点ですが、線分図にすべての条件を書き込んでしまうと、解き方の糸口が見つけにくくなることがありますから、そのようなときは、問題文の前から順に1つずつ条件を書き込んでいき、1つ書き込むたびに「何がわかるかな？」と考えてみるようにしてみましょう。


また、「線分図に整理してみたけれど、よくわからない」というときは、ダイヤグラム解法に切り替えることも1つの方法です。



上のグラフより、①分＝10分、また、Bさんは家から学校まで⑥分＝60分かかるので、家から学校までの1/3には20分かかることがわかり、そのときAさんは3km進んでいるので、Aさんの速さも時速9kmと求められ、以下、(1)、(2)とも答えを出すことができます。


ダイヤグラム解法は、上記のように、「時間の条件」に着目することがポイントです。






今回は、合否を分ける問題の中から、「旅人算」をテーマにした問題をご紹介しました。


「旅人算」では、線分図のかき方や読み取り方、ダイヤグラム解法など、合否を分けるレベルの問題を解くための大切な解法を学びますし、そこで学んだことが「通過算」、「流水算」、「時計算」にも使われますので、とても大切な単元だといえます。


5年生で「速さの3公式」や「速さと比」を学んだときの理解度に不安がある6年生は、志望校別の特訓が始まるまでに、「速さの3公式」や「速さと比」のおさらいと、線分図解法、ダイヤグラム解法の練習をしておくとよいと思います。