「第527回　共学校の文章題 1」


これまで27回にわたって、近年の女子中の入試問題について見てきました。


今回からは、男女共学の中学校で出された入試問題について取り扱っていこうと思います。


その1回目のテーマは、文章題です。


和差算やつるかめ算、差集め算などに代表される「特殊算」を中心に、1行問題の文章題をご紹介していきます。




【問題】
1匹100円のメダカと1匹120円の金魚を合わせて20匹買ったとき、メダカだけの代金と金魚だけの代金の差が460円でした。買ったメダカは何匹ですか。
(國學院大學久我山中学校　2020年　問題2-(5)）







【考え方】
「代金の和」が与えられていれば「つるかめ算」ですから、本問もそれに似た解き方ができそうです。


「つるかめ算」は表、面積図などを利用して解きますが、条件が「差」なので面積図は少し使いにくくなっています。


そこで、条件が「和」のときと同じように、「もし、メダカだけを20匹買ったら…」のように仮定をして調べていく、「表解」を用いてみましょう。



上の表を見ると、「規則性」が見つかります。



ここまでくれば、いつもの「つるかめ算」と同じ解き方ができることがわかります。



金魚を7匹買ったことがわかりましたので、メダカは

20匹－7匹＝13匹

です。

答え　13匹




本問は「差のつるかめ算」と呼ばれることがあるように、つるかめ算の仲間です。


つるかめ算には「和」が与えられる問題と「差」が与えられる問題の2種類があることを覚えておくと、このような問題を見ても戸惑わなくてすむと思います。




では、2問目です。




【問題】
ラグビーの試合では、トライを1回決めると5点入ります。トライを決めるとゴールを狙うことができ、ゴールを決めるとさらに2点入ります。Nチームは、1試合で123点入りました。Nチームのこの試合でのトライを決めた回数とゴールを決めた回数の組み合わせは、全部で何通りありますか。
(東京農業大学第一高等学校中等部　2020年　問題1-(3)）








【考え方】
本問は「不定方程式タイプのつるかめ算」と呼ばれる問題です。


答えが複数ある「つるかめ算」のことです。


この「不定方程式タイプのつるかめ算」のポイントは、「答えを1組、調べて見つける」ことです。


得点が123点ですから、トライを決めた回数は最大で、

123点÷5点＝24.6回→24回

とわかります。


そこで、トライを決めた回数がもし24回だったら…と仮定して調べていきます。



トライを決めた回数が23回、ゴールを決めた回数が4回のとき得点が123点になることがわかりました。


さらにトライの回数を減らしていくと1回につき5点減り、代わりにゴールの回数を1回増やしていくと2点増えますから、トライの回数を2回減らし（－10点）、代わりにゴールの回数を5回増やす（＋10点）とよいことがわかります。



答え　3通り




上記のように、「不定方程式タイプのつるかめ算」はあてはまる答えの組を1組探し、その後、増加分＝減少分（＝最小公倍数）となるようにして残りの組み合わせを求めるのが、基本の解き方です。




それでは、最後の問題です。




【問題】
あるクラスの生徒に鉛筆を5本ずつ配ったら20本不足し、3本ずつ配ったら58本余りました。このクラスの生徒は全部で何人ですか。
(東京都市大学等々力中学校　2020年　問題2-(2)　問題文一部変更）








【考え方】
「過不足算」の問題です。


「過不足算」は、「差集め算」の仲間で、前問のつるかめ算と同じように、表や面積図を用いた解き方がありますが、ここでは表を使っていこうと思います。


5本ずつ配ると20本不足しましたから、20本÷5本＝4人は鉛筆をもらえませんので、表は次のようになります。



配り方①と②では、鉛筆をもらった人数がちがいますから結果が異なるのも当然で、これでは問題を解くことができません。


そこで、「もらった人数を同じ」にして考えます。





配り方①のときの人数にそろえると、「余る鉛筆の本数は3本×4人＝12本増えた70本で、それは配り方②の方が1人分が2本少ないから」のように考えることができます。


70本÷2本＝35人…配り方①のときの人数　

ですから、人数は

35人＋4人＝39人

です。



また、配り方②のときの人数にそろえると、



のような数直線から「20本不足」と「58本余り」の差は78本とわかりますから、

78本÷2本＝39人…配り方②のときの人数　

のように求めることができます。

答え　39人　




上記の解き方では、はじめに「5本ずつ配ると20本不足しましたから、20本÷5本＝4人は鉛筆をもらえません」としてから表に整理しましたが、配り方②のような過不足算の考え方が身につけば、次のように簡略化することもできます。



ただ、問題のレベルが上がってくると、簡略化して整理できない問題がでてきますので、はじめに利用した基本の解き方を身につけておくことも必要です。






今回は、男女共学の中学校で出題された文章題の中から、「つるかめ算」、「過不足算」の1行問題を見ました。


これらの「特殊算」といわれる 文章題は、基本レベルの問題であれば計算式だけで解くことも可能ですが、問題のレベルが上がると上手くいかないことも出てきます。


ですから、基本問題の練習を通して、その問題ごとに適した条件整理の方法をマスターしておくことも大切です。